Die Algorithmentheorie ist Ende der dreiBiger Jahre entstanden in Ver- bindung mit Problemen der mathematischen Logik. Hit dem Aufkommen einer wissenschaftlich fundierten Informatik hat sie, insbesondere in den letzten zwanzig Jahren, an Bedeutung und Tragweite gewonnen. Das wird begreiflich, wenn man bedenkt, daB ein Programm flir eine elektronische Rechenanlage im wesentlichen ein Algorithmus ist und daB Resultate der Algorithmentheorie deshalb auch auf Programme anwendbar sind. Insbeson- dere gibt es eine enge Verbindung zwischen der Algorithmentheorie und anderen flir die Informatik bedeutsamen Zweigen, wie der Automatentheorie, der Theorie der formalen Sprachen und der sich in den letzten Jahren heranbildenden Theorie der Programmierung. Wahrend die meisten Blicher liber Algorithmentheorie sich an Studenten der mathematischen Logik richten, ist dieses Buch flir Informatikstuden- ten bestimmt. Zwar wird das Thema mit mathematischer Scharfe behandelt, aber es werden keine besonderen mathematischen Kenntnisse vorausgesetzt und die zahlreichen Kommentare zielen daraufhin, ein gutes intuitives Verstandnis zu ermoglichen; auBerdem hebt das Buch regelmaBig die Be- deutung der Resultate flir die Informatik hervor. SchlieBlich sind die Notationen und bestimmte Beweismethoden der Automatentheorie und der Theorie der formalen Sprachen entnommen; insbesondere wird grundsatz- lich mit Worten statt mit natlirlichen Zahlen gearbeitet.

Contenuti

0: Einige Begriffe und Notationen.- 0.1 Mengen und Funktionen.- 0.1.1 Mengen.- 0.1.2 Funktionen.- 0.1.3 Einige spezielle Funktionen.- 0.2 Zeichen und Worte.- 0.2.1 Zeichenreihen und Worte.- 0.2.2 Wortfunktionen.- 0.2.3 Eine Bemerkung zur Interpretation.- 1 Grundbegriffe.- 1.1 Algorithmen.- 1.1.1 Der Begriff Algorithmus.- 1.1.2 Der Begriff der berechenbaren Funktion.- 1.1.2.1 Algorithmische und algebraische Definitionen.- 1.1.2.2 Berechenbare Funktionen.- 1.1.2.3 Der Fall der partiellen Funktionen.- 1.1.2.4 Algorithmen und berechenbare Funktionen.- 1.1.3 Eine Pr�zisierung des Begriffs Algorithmus.- 1.1.4 Algorithmentheorie.- 1.1.5 Historischer Hintergrund der Algorithmentheorie.- 1.1.6 Algorithmentheorie und Informatik.- 1.2 Abz�hlbarkeit.- 1.2.1 Einleitung.- 1.2.2 Abz�hlbare Mengen.- 1.2.3 Satz.- 1.2.4 Satz.- 1.2.5 Satz.- 1.2.6 Eine intuitive Erkl�rung.- 1.3 Abz�hlungen von Worten.- 1.3.1 Eine Abz�hlung von V*…..21.- 1.3.2 Eine Abz�hlung von V*n…..23.- 1.3.2.1 Einleitung.- 1.3.2.2 Eine Abz�hlung von Nn…..24.- 1.3.2.3 Eine Abz�hlung von V*n…..26.- 1.3.2.4 Bemerkung.- 1.3.3 Die Funktionen VnWm.- 1.3.4 Bemerkung.- 1.3.5 Satz.- 2: Die Turing-Maschine.- 2.1 Definition der Turing-Maschine.- 2.1.1 Der Grundgedanke.- 2.1.2 Das physikalische Modell.- 2.1.2.1 Die Maschine.- 2.1.2.2 Die Arbeitsweise.- 2.1.2.3 Die Definition einer Funktion.- 2.1.2.4 Der Speicher der Turing-Maschine.- 2.1.3 Die formale Definition.- 2.1.3.1 Die Maschine.- 2.1.3.2 Die Konfiguration.- 2.1.3.3 Die Funktion succ.- 2.1.3.4 Drei Relationen.- 2.1.3.5 Die von einer Turing-Maschine definierte Funktion.- 2.1.4 Beispiele.- 2.1.5 Berechenbare Funktionen.- 2.1.6 Die These von Turing.- 2.1.7 Eine wichtige Bemerkung.- 2.1.8 Eine weitere Bemerkung.- 2.1.9 Die Berechenbarkeit anderer Funktionen als Wortfunktionen.- 2.2 Einige spezielle Turing-Maschinen.- 2.2.1 Einleitung.- 2.2.2 Echte Startzust�nde und Endzust�nde.- 2.2.3 Normalisierte Turing-Maschinen.- 2.2.4 Reduktion des Zeichenvorrats einer Turing-Maschine.- 2.2.5 Turing-Maschinen mit mehreren B�ndern.- 2.2.6 Eine �quivalente Definition der Berechenbarkeit f�r Funktionen mit n tupeln als Werte.- 2.3 Die universelle Turing-Maschine.- 2.3.1 Der Grundgedanke.- 2.3.2 Die Beschreibung einer Turing-Maschine mittels eines Wortes.- 2.3.2.1 Der Zeichenvorrat W.- 2.3.2.2 Das Wort DET.- 2.3.2.3 Beispiele.- 2.3.2.4 Die V-Beschreibung.- 2.3.3 Weitere Definitionen und Notationen.- 2.3.3.1 Die Mengen DE und D.- 2.3.3.2 Die Turing-Maschinen TE(x) und T(x).- 2.3.3.3 G�del-Nummer.- 2.3.4 Die universelle Turing-Maschine.- 2.3.4.1 Simulation einer Turing-Maschine.- 2.3.4.2 Eine universelle Turing-Maschine.- 2.3.5 Kommentar.- 2.3.6 Konstruktionen mit Turing-Maschinen.- 2.4 Einige nicht-berechenbare Funktionen.- 2.4.1 Das Halteproblem.- 2.4.2 Das Halteproblem bei leerem Band.- 2.4.3 Das uniforme Halteproblem.- 2.4.4 Das �quivalenzproblem.- 2.4.5 Schlu�bemerkung.- 2.5 Rekursiv-aufz�hlbare und rekursive Mengen.- 2.5.1 Definitionen.- 2.5.2 Der Bildbereich einer totalen berechenbaren Funktion.- 2.5.3 Die Akzeptorfunktion.- 2.5.4 Die Beziehung zwischen rekursiv-aufz�hlbaren und rekursiven Mengen.- 2.5.5 Beispiele von Mengen, die rekursiv-aufz�hlbar, aber nicht rekursiv sind.- 2.5.6 Beispiele von Mengen, die nicht rekursiv-aufz�hlbar sind.- 2.5.7 Quantifizierungen von Mengen.- 2.5.8 Effektive Abz�hlungen von Funktionen und Mengen.- 2.5.8.1 Die berechenbaren Funktionen.- 2.5.8.2 Die rekursiv-aufz�hlbaren Mengen.- 2.5.8.3 Bemerkung.- 2.5.9 Kommentar.- 2.5.9.1 Ein praktischer Aspekt.- 2.5.9.2 Eine graphische Darstellung.- 2.5.9.3 �ber die Natur von rekursiv-aufz�hlbaren und rekursiven Mengen.- 2.5.9.4 Axiomatische Systeme.- 2.5.9.5 �ber die N�tzlichkeit partieller Funktionen.- 3: Andere Formalismen als Turing-Maschinen.- 3.1 Die rekursiven Funktionen.- 3.1.1 Einleitung.- 3.1.2 Definition.- 3.1.2.1 Die axiomatische Definitionsmethode.- 3.1.2.2 Die Basisfunktionen.- 3.1.2.3 Die Komposition.- 3.1.2.4 Die Rekursion.- 3.1.2.5 Die Minimalisierung.- 3.1.2.6 Definitionen.- 3.1.2.7 Satz.- 3.1.2.8 Wichtige Bemerkungen.- 3.1.3 Beispiele.- 3.1.4 Endliche Funktionen.- 3.1.5 Das Ziel der n�chsten Abschnitte.- 3.1.6 Fallunterscheidung.- 3.1.7 Erweiterte Initialisierung.- 3.1.8 Simultane Rekursion.- 3.1.9 Rekursion mit variablen Schritten.- 3.1.10 Reduktion des Zeichenvorrats.- 3.1.11 Die �quivalenz von berechenbaren und rekursiven Funktionen.- 3.1.12 Wortbeschreibungen, die universelle rekursive Funktion und unl�sbare Probleme.- 3.1.12.1 Wortbeschreibungen.- 3.1.12.2 Satz.- 3.1.12.3 Unl�sbare Probleme.- 3.1.13 Verallgemeinerung f�r andere Funktionen als Wortfunktionen.- 3.1.14 Satz.- 3.2 Die Markov-Algorithmen.- 3.2.1 Einleitung.- 3.2.2 Definitionen.- 3.2.2.1 Der Markov-Algorithmus.- 3.2.2.2 Informelle Beschreibung des Markov- Algorithmus.- 3.2.2.3 Drei Relationen.- 3.2.2.4 Die von einem Markov-Algorithmus definierte Funktion.- 3.2.2.5 Markov-berechenbare Funktionen.- 3.2.3 Beispiele.- 3.2.4 Die �quivalenz mit Turing-Maschinen.- 3.2.5 Bemerkung.- 4: Nicht-deterministische Algorithmen und Grammatiken.- 4.1 Die Begriffe.- 4.1.1 Nicht-deterministische Algorithmen.- 4.1.2 Die formale Definition nicht-deterministischer Algorithmen.- 4.1.3 Grammatiken.- 4.1.4 Axiomatische Systeme.- 4.2 Semi-Thue-Algorithmen und semi-Thue-Grammatiken.- 4.2.1 Semi-Thue-Algorithmen.- 4.2.1.1 Informelle Beschreibung.- 4.2.1.2 Formale Definition.- 4.2.1.3 Beispiele.- 4.2.2 Semi-Thue-Grammatiken.- 4.2.2.1 Einleitung.- 4.2.2.2 Formale Definition.- 4.2.2.3 Beispiel.- 4.2.2.4 Kontextfreie Grammatiken.- 4.2.3 Semi-Thue-Grammatiken und rekursiv-aufz�hlbare Mengen.- 4.2.4 ?-freie semi-Thue-Grammatiken.- 4.2.5 Weiterentwicklung der Theorie.- 4.2.6 Das Korrespondenzproblem von Post.- Eine Schlu�bemerkung.- Literatur.- L�sungen und L�sungshinweise der wichtigsten �bungen.- Die wichtigsten Notationen.- Alphabetische Liste der wichtigsten Funktionen.- Alphabetisches Sachregister.

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