Angewandte Algebra für Mathematiker und Informatiker

Der Begriff "Angewandte Algebra" kann verschieden aufgefaßt werden Der Berufsmathematiker wird argumentieren, wie falsch eine Auf teilung der Mathematik in reine und angewandte Mathematik ist. Fachleute anderer wissenschaftlicher oder technischer Disziplinen werden dagegen hoffen, fertige Rezepte zur Lösung dieser oder jener praktischen Aufgaben zu finden, ohne sich dabei im einzelnen für strenge Begründungen zu interes­ sieren. Ungeachtet dieser extremen Standpunkte hat sich in unserer Zeit ein gewisser Teil des mathematischen Wissens unter der Bezeichnung "angewandte Mathematik" durchgesetzt. Einige Hochschulen bieten unter diesem Namen Vorlesungen an. Das vorliegende Buch ist nun der angewandten Algebra gewidmet. Den Autoren sind nur wenige Bücher mit einem ähnlichen Titel bekannt. Zu den verbreitetsten dürfte die Monographie [9] von G. BIRKHOFF und T. BARTEE gehören, die eine allgemeine breite Einführung in die Ideen und Methoden der modernen Algebra gibt, auf eine ausführliche und gründliche Behandlung konkreter Abschnitte aber verzichten muß. In unserem Buch geht es dagegen um einen wichtigen, konkreten Teil der angewandten Algebra: es wird vor allem von Permutationsgruppen und ihren Anwendungen in verschiedenen Bereichen die Rede sein. Wir haben uns das Ziel gesetzt, den Leser so mit dem Gruppenbegriff (genauer Permu­ tationsgruppen) vertraut zu machen, daß er die Natürlichkeit, Unumgäng­ lichkeit und schließlich auch die Nützlichkeit dieser algebraischen Struktur "Gruppe" empfindet und sie zu handhaben lernt. Die Ideen der Grup­ pentheorie haben sich in der Mathematik und ihren Anwendungen (Physik, Chemie, Informatik) als äußerst wichtig und trächtig erwiesen.

1. Grundlagen aus der Theorie der Permutationsgruppen.- 1.1. Permutationen und Permutationsgruppen.- A. Verschiedene Darstellungen von Permutationen.- B. Die Multiplikation von Permutationen und ihre Eigenschaften.- C. Permutationsgruppen.- D. Der Satz von Cayley.- 1.2. Die symmetrische und die alternierende Gruppe.- A. Erzeugende der symmetrischen Gruppe.- B. Gerade und ungerade Permutationen.- C. Die alternierende Gruppe.- 1.3. Der Satz von Lagrange und seine Anwendungen.- A. Der Satz von Lagrange.- B. Untergruppen der symmetrischen Gruppe.- C. Die Bahnen von Permutationsgruppen.- 1.4. Kombinatorische Eigenschaften von Permutationsgruppen.- A. Transitive, reguläre und mehrfach transitive Permutationsgruppen.- B Ähnlichkeit und Konjugiertheit.- C. Der Zyklenzeiger von Permutationsgruppen.- 1.5. Invariante Relationen von Permutationsgruppen.- A. Grundlegende Definitionen.- B. Die k-Bahnen von Permutationsgruppen.- C. Operationen auf invarianten Relationen.- D. Die Sätze von Krasner.- E. Die k-Abschließung von Permutationsgruppen.- 1.6. Symmetriegruppen geometrischer Figuren.- A. Grundlegende Definitionen.- B. Diedergruppen.- C. Transformationsgruppen von Polyedern.- D. Die Symmetriegruppen der regelmäßigen Polyeder.- E. Invariante Relationen der Symmetriegruppen.- 1.7. Operationen über Permutationsgruppen.- A. Das direkte Produkt von (abstrakten) Gruppen.- B. Die direkte Summe und das direkte Produkt von Permutationsgruppen.- C. Das Kranzprodukt.- D. Exponentiation von Permutationsgruppen.- 1.8. Aufgaben.- 2. Einführung in die Abzählungstheorie.- 2.1. Das Lemma von Cauchy-Frobenius-Burnside.- A. Formulierung und Beweis des Lemmas.- B. Allgemeines Anwendungsschema.- C Anmerkungen zur Geschichte des Lemmas von Cauchy-Frobenius-Burnside und seiner Anwendungen.- 2.2. Grundlagen der Pólyaschen Abzählungstheorie.- A. Erzeugende Funktionen.- B. Zerlegungen und verträgliche Mengen (Blöcke).- C. Der Satz von Pólya (für einen Spezialfall).- D. Der polynomische Lehrsatz.- E. Der Pólyasche Abzählungssatz für den Fall von mehreren Variablen.- 2.3. Abzählung von Färbungen.- A. Färbungen von Polyedern.- B. Färbungen von Ketten.- 2.4. Abzählungen von Graphen.- A. Der Zyklenzeiger der symmetrischen Gruppe.- B. Abzählungen von gerichteten Graphen.- C. Abzählungen ungerichteter Graphen.- 2.5. Aufgaben.- 3. Automorphismengruppen von Graphen.- 3.1. Die 2-Abschließung von Permutationsgruppen.- A. Begriffe und Bezeichnungen.- B. Die 2-Abschließung als Automorphismengruppe eines gefärbten Graphen.- C. Anzahl der Graphen mit vorgegebener Automorphismengruppe.- 3.2. Das Isomorphieproblem für Graphen.- A. Problemstellung.- B. Die kanonische Numerierung der Punkte eines Graphen.- C. Die „branch-and-bound“-Methode.- D. Bestimmung der kanonischen Numerierung eines Graphen.- 3.3. V-Ringe und zellulare Ringe.- A. V-Ringe.- B. Kohärente Relationenschemata und zellulare Ringe.- C. Die Bestimmung der zellularen Unterringe.- 3.4. Binomialgraphen.- A. Die V-Ringe der induzierten symmetrischen Gruppen.- B. Die Unterringe von V$$\left( {S_n^m,P_n^m} \right)$$ für großes n.- C. Die Automorphismengruppe der Binomialgraphen.- D. Die Obergruppen von $$\left( {S_n^m,P_n^m} \right)$$.- 3.5. Aufgaben.- 4. Der n-dimensionale Einheitswürfel und abstandstransitive Graphen.- 4.1. Der n-dimensionale Würfel und seine Automorphismengruppe.- A. Der Graph des n-dimensionalen Würfels.- B. Die Automorphismengruppe des n-dimensionalen Würfels.- C. Die Gruppe S2? Snund ihr V-Ring.- D. Die Imprimitivitätssysteme von S2? Sn.- E. Die Obergruppen von S2? Sn.- 4.2. Boolesche Funktionen.- A. Grundbegriffe und Bemerkungen.- B Minimisierung Boolescher Funktionen.- C. Die Klassifikation Boolescher Funktionen und der Zyklenzeiger der Gruppe (S2? Sn,Fn).- D. Konstruktive Aufzählung der Typen Boolescher Funktionen.- E. Lineare Codes über dem zweielementigen Körper.- 4.3. Abstandstransitive und abstandsreguläre Graphen.- A. Abstandstransitive Graphen.- B. Abstandsreguläre Graphen.- C. Streng reguläre Graphen.- D. Homogene Graphen.- 4.4. Aufgaben.- Algebraischer Anhang.- A.0. Mengentheoretische, logische und andere Symbole.- A.1. Mengentheoretische Grundlagen und Begriffe.- A.2. Gruppen, Ringe, Körper.- A.3. Graphen.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.