Approximationstheorie

In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie­ rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort­ schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge­ wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti­ gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen­ ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel­ fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen­ dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.

I. Auftreten von Approximationsaufgaben.- 1. Eingabe von Funktionen auf Rechenanlagen.- 2. Diskrete Approximation und Ausgleichsrechnung.- 3. Einteilung der Approximationsaufgaben nach der verwendeten Funktionenmannigfaltigkeit.- 4. Approximationsaufgaben bei Differentialgleichungen.- 5. Einseitige Tschebyscheff-Approximation bei Randwertaufgaben.- 6. Kombinations-Approximationen (kurz Kombi-Approximationen).- A. Segment-Approximation.- B. Syn-Approximation.- C. Simultan-Approximation.- D. Kombi-Approximation.- E. Bedingte Approximation.- 7. Weitere Beispiele von Randwertaufgaben.- A. Telegraphengleichung.- B. Weitere einfache Beispiele.- C. Wellenfortpflanzung im Plasma.- D. Simultan-Approximation.- 8. Andere Gebiete der Analysis.- A. Integralgleichung.- B. Integro-Differentialgleichung mit Differenzkern.- C. Konforme Abbildung.- D. Differenzen-Differentialgleichung.- E. Numerische Integration.- 9. Lp-Approximation und weitere Approximationsaufgaben.- A. Lp-Approximation.- B. Einseitige L1-Approximation.- C. Gemischte L1-T-Approximation.- D. Approximation durch unendlichdimensionale Teilräume.- E. Unsymmetrische T-Approximation.- F. Feldapproximation.- G. Monoton zerlegbare Operatoren.- II. Nichtlineare Tschebyscheff-Approximation: Allgemeine Theorie.- 1. Problemstellung.- A. Allgemeine Formulierung des Problems.- B. Spezialfälle.- C. Problemstellungen.- 2. Untere Schranken für die Minimalabweichung und eine hinreichende Bedingung für Minimallösungen.- A. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung unterer Schranken.- B. Anwendungen.- C. Eine hinreichende Bedingung für Minimallösungen.- 3. Existenz von Minimallösungen.- A. Allgemeine Aussagen.- B. Beispiele.- 4. Notwendige Bedingungen für Minimallösungen.- A. Tangentialkegel in normierten Räumen.- B. Anwendung auf das allgemeine T-Problem.- C. Der differenzierbare reelle Fall.- 5. Charakterisierung von Minimallösungen.- A. Die allgemeine und die lokale Kolmogoroff-Bedingung.- B. Die Vorzeichenbedingung.- C. Anwendungen.- 6. Eindeutigkeit.- A. Hinreichende Bedingung für Eindeutigkeit.- B. Spezialfälle.- C. Notwendige Bedingung für Eindeutigkeit.- 7. Approximation auf einem reellen Intervall.- A. Untere Schranken für die Minimalabweichung und eine hinreichende Bedingung für Minimallösungen.- B. Notwendige Bedingungen für Minimallösungen.- C. Eindeutigkeit von Minimallösungen.- 8. Stetigkeit des T-Operators.- A. Problemstellung.- B. Starke Eindeutigkeit und Stetigkeit des T-Operators.- C. Normalität und lokale Stetigkeit des T-Operators.- D. Beispiele.- III. H-Mengen.- 1. H-Mengen, H1-Mengen, H2-Mengen.- 2. Lineare Approximation.- 3. Beispiele von H-Mengen.- A. T-Systeme.- B. Lineare Funktionen.- C. Polynome.- D. Polynome bei zwei unabhängigen Variablen.- E. Allgemeinere Fälle.- 4. Trigonometrische Tschebyscheff-Approximation in zwei Variablen.- 5. Segment-Approximation (Spline-Approximation) mit Polynomen.- 6. Segment-Approximation mit rationalen Funktionen.- 7. H2-Mengen und Monotonie.- A. Monotonieprinzip.- B. Dreipunktige H2-Menge auf einer Geraden.- 8. Anwendung auf Differentialgleichungen.- A. Endlicher Bereich.- B. Unendlicher Bereich.- IV. Allgemeine rationale und lineare Approximation.- 1. Das Existenzproblem bei reeller rationaler Approximation.- A. Allgemeine Problemstellung.- B. Gewöhnliche rationale Approximation im Reellen.- C. Rationale trigonometrische Approximation.- 2. Berechnung der Minimalabweichung und Charakterisierung von Minimallösungen.- A. Ein Dualitätssatz bei allgemeiner rationaler Approximation.- B. Charakterisierung von Minimallösungen.- C. Der Spezialfall der linearen Approximation.- 3. Diskrete rationale Approximation.- A. Dualität.- B. Ein Kriterium für die Lösbarkeit des T-Problems.- C. Der Fall m = r + s + 2.- D. Der Fall der linearen Approximation.- 4. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten rationalen Approximationsproblems.- A. Theoretische Grundlagen des Verfahrens.- B. Durchführung des Verfahrens.- 5. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten linearen Approximationsproblems.- A. Grundlagen des Verfahrens.- B. Theoretische Beschreibung des Verfahrens.- C. Konvergenz.- D. Praktische Durchführung des Verfahrens.- V. Nichtlineare Exponentialapproximation.- 1. Existenz von Minimallösungen.- A. Problemstellung.- B. Ein allgemeiner Existenzsatz.- C. Anwendung auf die Exponentialapproximation.- 2. Zur Charakterisierung und Eindeutigkeit von Minimallösungen.- A. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimallösungen.- B. Zur Eindeutigkeit von Minimallösungen.- VI. Weitere Fragestellungen.- 1. Die Sätze von Stone und Weierstraß.- A. Problemstellung.- B. Der Satz von Stone.- C. Anwendung des Satzes von Stone.- 2. Rationale Approximation und Eigenwertaufgaben.- A. Einleitung.- B. Eigenwertaufgaben bei allgemeiner rationaler Approximation.- C. Gewöhnliche rationale Approximation.- VII. Anhang.- 1. Metrische und normierte Räume.- 2. Einige Eigenschaften konvexer Mengen in linearen Vektorräumen.- 3. Vergleich zwischen L2- und T-Approximation.- 4. Einige weitere Beispiele für T-Systeme.- 5. Aufgaben mit Lösungen.- 6. Weitere Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.