CAE von Dynamischen Systemen : Analyse, Simulation, Entwurf von Regelungssystemen

Thema des Buches ist die Analyse, Synthese und Simulation von dynamischen Systemen mit Hilfe von digitalen Rechenanlagen (Computern). Der Autor behandelt im einzelnen: Hochgenaue Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen, Eigenwert- und Eigenvektorermittlung, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit, Zustandsrückführung und -beobachtung, Singulärwertzerlegung, Simulation Dynamischer Systeme, Lösung von Ljapunov- und Riccati-Gleichungen, Frequenzkennlinien. Zu jedem Einzelthema wird ein Algorithmus angegeben, der bisher als bestgeeignetster galt, und - soweit bereits vorhanden - ein neuer Algorithmus, der mit Hilfe von Intervallmathematik und Einschließungsmethoden formuliert wurde. Die Algorithmen sind so formuliert, daß sie unmittelbar in Computerprogramme (z.B. für Personalcomputer) umgesetzt werden können. Ziel des Buches ist es, in die Grundlagen der benötigten numerischen Verfahren einzuführen und vor allem Anregungen für den Einsatz der neuen Methoden der Intervallmathematik bei der Lösung von Problemen der Systemtheorie, insbesondere der Regelungstheorie zu geben.

1 Grundlagen der Computerarithmetik.- 1.1 Maschinenzahlen.- 1.2 Rundungsfehler und gezielte Rundungen.- 1.3 Einige Besonderheiten von Pascal-sc und Fortran-sc.- 1.3.1 Arithmetische Grundoperationen.- 1.3.2 Optimales Skalarprodukt.- 1.4 Die Kondition eines Problems und die Güte eines Algorithmus.- 2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2.1 Einführung.- 2.2 Ermittlung der Eigenwerte aus der charakteristischen Gleichung.- 2.2.1 Quadratische Gleichungen.- 2.2.2 Kubische Gleichungen.- 2.2.3 Polynome höheren Grades.- 2.3 Eigenwertermittlung mittels orthogonaler Ähnlichkeitstransformationen.- 2.3.1 Allgemeine Schur-Form.- 2.3.2 QR-Zerlegung mittels Householder-Matrizen.- 2.3.3 Transformation auf Hessenberg-Form.- 2.3.4 QR-Zerlegung einer Hessenberg-Matrix.- 2.3.5 Reelle Schur-Form.- 2.3.6 QR-Verfahren zur Eigenwertermittlung.- 2.3.7 Zusammenfassung.- 2.4 Ermittlung der Eigenvektoren.- 2.4.1 Einleitung.- 2.4.2 Eigenvektorermittlung für die Hessenberg-Form.- 3 Hochgenaue Lösung von Gleichungssystemen.- 3.1 Einleitung und Newton-Iterationsverfahren.- 3.2 Hochgenaue Lösung von Gleichungssystemen.- 3.2.1 Hochgenaue Lösung linearer Gleichungssysteme.- 3.2.2 Hochgenaue Lösung linearer Intervallgleichungen.- 3.2.3 Hochgenaue Berechnung der inversen Matrix.- 3.2.4 Hochgenaue Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.- 3.3 Anwendung auf das Eigenwertproblem.- 3.3.1 Hochgenaue Berechnung reeller Eigenwerte und Eigenvektoren.- 3.3.2 Hochgenaue Berechnung komplexer Eigenwerte und Eigenvektoren.- 4 Steuerbarkeit und Eigenwertzuweisung (Polvorgabe).- 4.1 Steuerbarkeit eines dynamischen Systems.- 4.1.1 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme.- 4.1.2 Steuerbarkeit zeitkontinuierlicher Systeme.- 4.2 Numerische Untersuchung der Steuerbarkeit und Normalformen.- 4.2.1 Einfachsysteme.- 4.2.2 Mehrfachsysteme.- 4.3 Eigenwertzuweisung (Polverschiebung).- 4.3.1 Zustandsrückführung.- 4.3.2 Zustandsrückführung bei Einfachsystemen.- 4.3.3 Numerische Ermittlung des Rückkoppelungsvektors für Einfachsysteme.- 4.3.4 Zustandsrückführung bei Mehrfachsystemen.- 4.3.5 Numerische Berechnung der Rückkoppelungsmatrix für Mehrfachsysteme.- 5 Beobachtbarkeit und Zustandsrekonstruktion.- 5.1 Beobachtbarkeit eines dynamischen Systems.- 5.1.1 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme.- 5.1.2 Beobachtbarkeit zeitkontinuierlicher Systeme.- 5.2 Numerische Untersuchung der Beobachtbarkeit.- 5.3 Zustandsrekonstruktion.- 6 Singulärwertzerlegung und Anwendungen.- 6.1 Einleitung.- 6.2 Numerische Berechnung der Singulärwerte.- 6.2.1 Verfahren von Golub und Reinsch.- 6.2.2 Hochgenaue Berechnung der Singulärwerte und Singulärvektoren.- 6.3 Anwendungen der Singulärwertzerlegung.- 6.3.1 Kanonische Systemzerlegung nach Kalman.- 6.3.2 Geometrische Theorie der Störgrößenentkopplung.- 6.3.3 Balancierte Realisierung und Modellreduktion.- 6.3.4 Die Methode der kleinsten Quadrate und die Pseudoinverse.- 7 Simulation Dynamischer Systeme.- 7.1 Klassische Verfahren der Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 7.1.1 Einleitung.- 7.1.2 Verfahrensfehler und Taylor-Reihe.- 7.1.3 Das Runge-Kutta-Verfahren.- 7.1.4 Fehlerkorrektur und Schrittweitensteuerung.- 7.1.5 Algorithmen-Stabilität und steife Differentialgleichungen.- 7.2 Lineare Differentialgleichungen: Zustandsgleichungen.- 7.2.1 Transitionsmatrix.- 7.2.2 Simulation mit Hilfe der Transitionsmatrix.- 7.2.3 Numerische Berechnung der Transitionsmatrix über die Diagonalform.- 7.2.4 Numerische Berechnung der Transitionsmatrix über die Reihendarstellung.- 7.2.5 Berechnung der Transitionsmatrix mittels Padé-Approximation.- 7.2.6 Berechnung der Matrix H(h).- 7.3 Simulation von Systemen mit Anfangswert- und Parameterintervallen.- 7.3.1 Einleitung.- 7.3.2 Rekursive Berechnung der Taylor-Koeffizienten.- 7.3.3 Einschrittverfahren und lokale Fehler.- 7.3.4 Einschließung des globalen Fehlers.- 8 Ljapunov- und Riccati-Gleichungen.- 8.1 Stabilität und Ljapunov-Gleichungen bei zeitkontinuierlichen Systemen.- 8.2 Stabilität von zeitdiskreten Systemen und Ljapunov-Gleichung.- 8.3 Numerische Lösung der Ljapunov-Gleichung.- 8.4 Optimale lineare Regler und Riccati-Gleichung.- 8.5 Numerische Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung.- 9 Frequenzkennlinien.- 9.1 Einführung und Grundlagen.- 9.2 Numerische Berechnung der Frequenzkennlinien.- 9.3 Frequenzkennlinien für Systeme mit Parameterintervallen.- A Elemente der Intervallrechnung.- A.1 Intervallarithmetik.- A.2 Maschinenintervallarithmetik.- A.3 Intervallmäßige Auswertung von Funktionen.- A.4 Intervallvektoren und Intervallmatrizen.