Differential- und Integralrechnung fr Funktionen mit einer Variablen (Paperback)

Das vorliegende Bueh riehtet sieh insbesondere an Studenten der Ingenieur und Naturwissensehaften, aber aueh an Studenten, die das Lehramt an Real sehulen oder Gymnasien anstreben. Diesem Band kommt innerhaIb der Reihe "Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissensehaftler" eine besondere Bedeutung zu, weil nahezu aile anderen Bande auf der Differential- und Integralreehnung aufbauen. Deshalb wird groBer Wert darauf gelegt, die fundamentalen Begriffe nieht nur prazise zu definieren, sondem sie aueh in ihrer Bedeutung und Anwendbarkeit auszulo ten. Dariiber hinaus werden dem Leser Methoden und viele praktisehe Tips vermittelt, die ihm den Gegenstand als stets verfiigbares "Werkzeug" nahe bringen. Dazu dienen nieht zuletzt die iiber 150 im Detail durehgereehneten Beispiele und die etwa 100 Aufgaben mit Losungen. In die Neubearbeitung des Buehes sind die Erfahrungen mit den vorangegan genen aeht Auflagen eingeflossen, die in den letzten zwei Jahrzehnten regel maBig aktualisiert ersehienen sind. Fiir wertvolle Hinweise danken wir dem verantwortliehen Herausgeber dieses Bandes, Herrn Prof. Dr. K. Manteuffel, sowie den Herren Doz. Dr. S. Dietze, Prof. Dr. C. GroBmann, Doz. Dr. P. Meinhold, Prof. Dr. H. Sehwetliek und Prof. Dr. H. Wenzel. Besonderer Dank gilt Frau H. Mettke fiir die Herstellung der reproduktionsrei fen Druekvorlage. Mit groBer SorgfaIt und unersehopflieher Geduld ist sie auf aIle Gestaltungswiinsehe der Autoren und des Verlages eingegangen. SehlieBlieh sei dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn J. WeiB fiir die seit Jahren stets freundsehaftliehe, konstruktive Zusammenarbeit gedankt."

Differentialrechnung.- 1 Einführung.- 1.1 Problemstellung und Historisches.- 1.2 Vorbereitungen.- 2 Grenzwert einer Funktion.- 2.1 Der Begriff des Grenzwertes.- 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte.- 2.3 Die Landauschen Ordnungssymbole.- 3 Stetigkeit.- 3.1 Der Begriff der Stetigkeit.- 3.2 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation.- 3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 3.3.1 Das Rechnen mit stetigen Funktionen.- 3.3.2 Stetigkeit der elementaren Funktionen.- 3.3.3 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen.- 4 Differenzierbarkeit, Ableitungen.- 4.1 Der Begriff der Ableitung.- 4.2 Das Berechnen der Ableitung.- 4.2.1 Differentiationsregeln.- 4.2.2 Ableitungen einiger Grundfunktionen.- 4.2.3 Technik des Differenzierens.- 4.3 Ableitungen höherer Ordnung.- 4.4 Weierstraßsche Zerlegungsformel und Differentiale.- 4.5 Anwendung des Differentials.- 4.5.1 Bemerkungen zum numerischen Rechnen.- 4.5.2 Fehlerfortpflanzung.- 4.6 Ein Ausblick: Funktionenräume.- 5 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.- 5.1 Mittelwertsätze der Differentialrechnung.- 5.2 Die Taylor-Formel und ihre Anwendung.- 5.2.1 Die Taylor-Formel für ganze rationale Funktionen.- 5.2.2 Das Horner-Schema.- 5.2.3 Die Taylor-Formel für beliebige Funktionen.- 5.2.4 Die Taylor-Formel einiger elementarer Funktionen.- 5.2.5 Anwendungen der Taylor-Formel.- 5.2.6 Ein Ausblick: Potenzreihen.- 6 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen.- 6.1 Berechnung von Grenzwerten (Regeln von Bernoulli-de l’Hospital).- 6.2 Monotonie.- 6.3 Konvexität.- 6.4 Extremstellen und Wendestellen.- 6.4.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremstellen.- 6.4.2 Beispiele und Anwendungen.- 6.4.3 Wendestellen.- 6.5 Kurvendiskussion.- 7 Numerische Lösung von Gleichungen.- 7.1 Vorbemerkung.- 7.2 Fixpunktiteration.- 7.3 Das Newton-Verfahren.- 7.4 Das Sekantenverfahren.- 7.5 Ein Überblick: die behandelten Verfahren.- Integralrechnung.- 8 Einleitung.- 9 Das unbestimmte Integral.- 9.1 Definition und Integrationsregeln.- 9.1.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale.- 9.1.2 Unbestimmte Integrale der Grundfunktionen.- 9.1.3 Einige allgemeine Integrationsregeln für unbestimmte Integrale.- 9.1.4 Die Substitutionsmethode bei unbestimmten Integralen.- 9.1.5 Die partielle Integration.- 9.1.6 Möglichkeiten und Grenzen der Integration und der Integrationsregeln.- 9.2 Integration rationaler Funktionen.- 9.2.1 Problemstellung und -reduzierung.- 9.2.2 Zerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche.- 9.2.3 Integration der Partialbrüche.- 9.3 Integration weiterer Funktionenklassen.- 9.3.1 Das Integral $$ \int {R\left( {x,\sqrt[n]{{ax + b}}} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.2 Das Integral $$ \int {R\left( {{e^x}} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.3 Das Integral $$ \int {R\left( {\sin x,{\text{ }}\cos x} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.4 Das Integral $$ \int {R\left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.5 Elliptische Integrale.- 10 Das bestimmte Integral.- 10.1 Definition und Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 10.1.1 Integralsummen.- 10.1.2 Das bestimmte Integral.- 10.1.3 Integrierbare Funktionen.- 10.1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 10.2 Berechnung bestimmter Integrale.- 10.2.1 Problematik.- 10.2.2 Bestimmtes Integral mit variabler oberer Grenze.- 10.2.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 10.2.4 Die Substitutionsmethode bei bestimmten Integralen.- 10.3 Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale.- 10.3.1 Problemstellung.- 10.3.2 Die Rechteck- und die Trapezformel.- 10.3.3 Die Simpsonsche Regel.- 10.4 Einige Anwendungen des bestimmten Integrals.- 10.4.1 Anwendungen in der Geometrie.- 10.4.2 Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften.- 10.5 Das bestimmte Integral und der Maßbegriff.- 11 Uneigentliche Integrale.- 11.1 Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen.- 11.2 Uneigentliche Integrale mit nichtbeschränkter Funktion.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.