Funktionalanalysis und numerische Mathematik

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es möchte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur­ wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Groß­ rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe­ matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehört. Die Funk­ tionalanalysis ist eine Grundlage für große Teile beider genannten Dis­ ziplinen, und der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu führen; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe­ matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.

I Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.- § 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.- 1.1 Einige allgemeine Begriffe.- 1.2 Lösungen von Gleichungen.- 1.3 Untersuchung der Eigenschaften der Lösungen von Gleichungen.- 1.4 Extremalaufgaben mit oder ohne Nebenbedingungen.- 1.5 Darstellungsaufgaben (Koeffizientenbestimmungen).- 1.6 Auswertungen.- § 2. Einige Typen von Räumen.- 2.1 Höldersche und Minkowskische Ungleichung.- 2.2 Der topologische Raum.- 2.3 Quasimetrische und metrische Räume.- 2.4 Lineare Räume.- 2.5 Normierte Räume.- 2.6 Unitäre Räume und Schwarzsche Ungleichung.- 2.7 Die Parallelogrammgleichung.- 2.8 Orthogonalität in unitären Räumen, Besselsche Ungleichung.- § 3. Ordnungen.- 3.1 Halbordnung und Totalordnung.- 3.2 Verbände.- 3.3 Pseudometrische Räume.- § 4. Konvergenz und Vollständigkeit.- 4.1 Konvergenz im pseudometrischen Raum.- 4.2 Cauchy-konvergente Folgen.- 4.3 Vollständigkeit, Hilbert- und Banachräume.- 4.4 Einige Stetigkeitsaussagen.- 4.5 Einfache Folgerungen für den Hilbertschen Raum, Unterräume.- 4.6 Vollständige Orthonormalsysteme in Hilberträumen.- 4.7 Beispiele.- 4.8 Schwache Konvergenz.- § 5. Kompaktheit.- 5.1 Kompakt und kompakt in sich.- 5.2 Beispiele für Kompaktheit.- 5.3 Der Satz von Arzelà.- 5.4 Von Integraloperatoren erzeugte, in sich kompakte Funktionenmengen.- § 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Räumen.- 6.1 Lineare und beschränkte Operatoren.- 6.2 Zusammensetzung von Operatoren.- 6.3 Der inverse Operator.- 6.4 Beispiele von Operatoren.- 6.5 Die Inversen benachbarter Operatoren.- 6.6 Die Kondition eines linearen beschränkten Operators.- 6.7 Eine Fehlerabschätzung für ein Iterationsverfahren.- 6.8 Der Satz von Riesz und der Auswahlsatz.- 6.9 Ein Satz von Banach über Folgen von Operatoren.- 6.10 Anwendung auf Quadraturformeln.- § 7. Operatoren in Hilberträumen.- 7.1 Der adjungierte Operator.- 7.2 Beispiele.- 7.3 Differentialoperatoren bei Funktionen einer Veränderlichen.- 7.4 Differentialoperatoren bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.- 7.5 Vollstetige Operatoren.- 7.6 Vollstetige Integraloperatoren.- 7.7 Restgliedabschätzungen für holomorphe Funktionen.- 7.8 Ableitungsfreie Abschätzungen für Quadraturfehler.- 7.9 Ein Grundprinzip der Variationsrechnung.- § 8. Eigenwertaufgaben.- 8.1 Allgemeine Eigenwertaufgaben.- 8.2 Spektrum eines Operators in einem metrischen Raum.- 8.3 EinschlieBungssatz für Eigenwerte.- 8.4 Projektionen.- 8.5 Extremaleigenschaften der Eigenwerte.- 8.6 Zwei Minimalprinzipien bei Differentialgleichungen.- 8.7 Rirzsches Verfahren.- § 9. Vektornormen und Matrixnormen.- 9.1 Vektornormen.- 9.2 Vergleich verschiedener Vektornormen.- 9.3 Matrixnormen.- 9.4 Aus der Matrizenlehre.- 9.5 Evxtrnische Vektornorm und passende Matrixnormen.- 9.6 Andere Vektornormen und zugeordnete Matrixnormen.- 9.7 Transformierte Normen.- 10. Weitere Sätze über Vektor- und Matrixnormen.- 10.1 Duale Vektornormen.- 10.2 Bestimmung einiger dualer Normen.- 10.3 Matrixpotenzen.- 10.4 Eine Minimaleigenschaft der Spektralnorm.- 10.5 Abweichung einer Matrix von der Normalität.- 10.6 Spektralvariation zweier Matrizen.- 10.7 Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.- 10.8 Hinweise zu den Lösungen bei einigen Aufgaben von 10.7.- II Iterative Verfahren.- § 11. Der Fixpunktsatz für das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Räumen.- 11.1 Iterationsverfahren und einfache Beispiele.- 11.2 Iterationsverfahren bei Differentialgleichungen.- 11.3 Der allgemeine Fixpunktsatz.- 11.4 Beweis des allgemeinen Fixpunktsatzes.- 11.5 Der Eindeutigkeitssatz.- § 12. Spezialfälle des Fixpunktsatzes und Abänderung des Operators.- 12.1 Spezialfall eines linearen Hilfsoperators P.- 12.2 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als Zahlenfaktor.- 12.3 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als nichtlinearer, reellwertiger Funktion.- 12.4 Durchführung von Iterationen mit einem abgeänderten Operator und Genauigkeitsfragen.- 12.5 Fehlerabschätzung bei abgeänderter Iteration.- § 13. Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.1 Eine einzelne Gleichung.- 13.2 Verschiedene Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.3 Einige Konvergenzkriterien bei linearen Gleichungssystemen.- 13.4 Zeilen- und Spaltensummenkriterium.- § 14. Gleichungssysteme und Differenzenverfahren.- 14.1 Differenzenverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen.- 14.2 Fehlerabschätzung für Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.- 14.3 Gruppeniteration.- 14.4 Unendliche lineare Gleichungssysteme.- 14.5 Overrelaxation mit Fehlerabschätzung.- 14.6 Wahl des Overrelaxationsfaktors.- 14.7 Methode der alternierenden Richtungen.- § 15. Iterationsverfahren bei Differential- und Integralgleichunge n.- 15.1 Nichtlineare Randwertaufgaben.- 15.2 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen.- 15.3 Integralgleichungen.- 15.4 Systeme hyperbolischer Differentialgleichungen.- 15.5 Fehlerabschätzung bei hyperbolischen Systemen.- § 16. Ableitung von Operatoren in supermetrischen Räumen.- 16.1 Die Fréchetsche Ableitung.- 16.2 Höhere Ableitungen.- 16.3 Die Kettenregel der Differentialrechnung.- 16.4 Grundsätzliche Beispiele zur Bildung der Ableitungen.- 16.5 L-metrische Räume.- 16.6 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel.- § 17. Aufstellung von Iterationsverfahren.- 17.1 Gewöhnliches und vereinfachtes Newtonsches Verfahren.- 17.2 Fehlerabschätzung für das vereinfachte Newtonsche Verfahren.- 17.3 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren bei nichtlinearen Randwertaufgaben.- 17.4 Die Ordnung von Iterationsverfahren.- 17.5 Iterationsverfahren bei Gleichungen mit holomorphen Funktionen, auch bei mehrfachen Nullstellen.- 17.6 Allgemeines Iterationsverfahren k-ter Ordnung zur Lösung der Operatorgleichung T u = ?.- 17.7 Bemerkung über den Rechenaufwand bei Verfahren höherer Ordnung.- § 18. Regula falsi.- 18.1 Primitivform und Normalform der Regula-falsi-Verschärfungen.- 18.2 Primitivform der Regula falsi bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.- 18.3 Die Regula falsi bei Operatorgleichungen.- 18.4 Erweiterungen der Regula falsi.- 18.5 Steigungen eines Operators und Newtonsches Interpolationspolynom.- 18.6 Konvergenz der Regula-falsi-Methode bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.- 18.7 Allgemeinere Verfahren und Beispiele.- § 19. Newtonsches Verfahren mit Verschärfungen.- 19.1 Das Newtonsche Verfahren mit Verschärfungen und die grundlegenden Abschätzungsfunktionen.- 19.2 Allgemeiner Konvergenzsatz für die Newtonschen Verfahren mit Verschärfungen.- 19.3 Allgemeine Bemerkungen über die Anwendung des Newtonschen Verfahrens.- 19.4 Das Newtonsche Verfahren bei Eigenwertaufgaben.- 19.5 Das Newtonsche Verfahren bei Approximationsaufgaben.- § 20. Monotonie und Extremalprinzipien beim Newtonschen Verfahren.- 20.1 Problemklasse, konvexe und konkave Operatoren.- 20.2 Monotonie beim Newtonschen Verfahren.- 20.3 Extremalprinzipien und EinschlieBungssatz.- 20.4 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben.- 20.5 Konvergenzuntersuchung.- 20.6 Vermischte Aufgaben zu Kap. II.- 20.7 Hinweise zu den Lösungen.- III Monotonie, Ungleichungen und weitere Gebiete.- § 21. Monotone Operatoren.- 21.1 Definition und Beispiele.- 21.2 Monoton zerlegbare Operatoren.- 21.3 Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes.- 21.4 Anwendung des Schauderschen Satzes bei nichtlinearen Differentialgleichungen.- 21.5 Anwendung auf reelle lineare Gleichungssysteme.- § 22. Weitere Anwendungen des Schauderschen Satzes.- 22.1 Extrapolation mit Fehlerabschätzung bei einer monotonen Iterationsfolge.- 22.2 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme.- 22.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen.- 22.4 Ein weiterer Monotoniesatz.- 22.5 Anwendungen auf nichtlineare Integralgleichungen.- § 23. Monotone Art bei Matrizen und Randwertaufgaben.- 23.1 Matrizen monotoner Art.- 23.2 Monotone Art bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 23.3 Randmaximumsatz bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.4 Monotone Art bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.5 Spezialfall der linearen elliptischen Differentialgleichungen.- § 24. Anfangswertaufgaben und weitere Monotoniesätze.- 24.1 Strenge Monotonie bei parabolischen Gleichungen.- 24.2 Der allgemeine Monotoniesatz.- 24.3 Nichtlineare hyperbolische Differentialgleichungen.- 24.4 Majorisierung der Greenschen Funktion und nichtlineare Randwertaufgaben.- § 25. Approximation von Funktionen.- 25.1 Problemstellungen bei Approximationsfragen.- 25.2 Lineare Approximation.- 25.3 Menge der Minimallösungen bei rationaler Approximation.- 25.4 Existenzsatz für rationale Tschebyscheff-Approximation.- 25.5 Allgemeiner EinschlieBungssatz für die Minimalabweichung.- 25.6 Ein System von Ungleichungen.- 25.7 Anwendungen.- 25.8 Rationale T-Approximation und Eigenwertaufgaben.- § 26. Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Austauschverfahren.- 26.1 Die diskrete T-Approximation.- 26.2 Referenz und Refeienzabweichung.- 26.3 Das Zentrum.- 26.4 Austauschverfahren.- 26.5 Vermischte Aufgaben zu Kap. III.- 26.6 Hinweise zu den Lösungen.- Anhang: Zum Schauderschen Fixpunktsatz.- 26.7 Hilfssätze über kompakte Mengen.- 26.8 Zwei Fassungen des Schauderschen Fixpunktsatzes.- Namenverzeichnis.