Lehrbuch der Mathematik

Das vorliegende Lehrbuch ist unmittelbar aus dem Unterricht hervorgegangen und fUr ihn bestimmt. Die Stofl'auswahl ist nach den Lehrplanen fUr die Staatl. Hoheren Malchinenbauschulen in PreuJlen getroffen. J edoch habe ich mich nicht auf eine Aufzah­ lung der Definitionen, Lehrsiitze und Formeln beschrankt; vielmehr Boll das Buch auch ainen Beitrag zur Methodik des mathematischen Unterrichts an mittleren Fachschulen liefern. Dagegen ist es nicht eigentlich fiir den Selbltunterricht bestimmt; ein solches Buch mu. B grundverschieden angelegt und ausgeflihrt werden. Wie denn ein Lehrbuch seiner ganzen Tendenz nach in erster Linie immer Dur einen Zweck verfolgen soll. J edes gute Schulbuch kann wohl zum Selbstunterricht verwendet werden; wahrend umgekehrt ein zum Selbstunterricht bestimmtes Buch fur die Schule giinzlich un­ brauchbar sein wird, da es dem Unterricht jedes individuelle Ge­ prage nehmen' und so zu einer unertraglichen Fessel des Lehrers werden wiirde. In einem Buche dieser zweiten Art mu. Bte die Personlichkeit eines Lehrers zu seinem Leser sprechen, damit ware das Buch aber hochstens fur diesen Lehrer im Unterricht brauchbar. Um auch an die im vorliegenden Buche innegehaltene Reihen­ folge nicht zu sehr zu binden, habe ich die einzelnen Abschnitte moglichst unabhangig voneinander behandelt. Der lebendige Unter­ richt mag die Verbindungen an einzelnen Punkten hinzufiigen. Jeder Abschnitt ist soweit durchgearbeitet, da. B es den Schiilern moglich ist, einze1ne Teile selbstandig nachzuarbeiten, wenn sie zeitweilig dem Unterricht fernbleiben mu. Bten. Die besonderen Schwierigkeiten, die der U nterricht an einer Fachschule bereitat, sind darin zu suchen, da.

Algebra.- Erster Abschnitt. Verkürztes Rechnen und Rechenhilfsmittel.- 1. Verkürztes Rechnen.- 2. Mathematische Tabellen technischer Kalender.- 3. Die Logarithmen.- 4. Mechanische Rechenhilfsmittel.- Zweiter Abschnitt. Zur Wiederholung aus der Buchstabenrechnung.- 1. Wichtige Formeln.- 2. Das Ausklammern.- 3. Die Proportionen.- 4. Unendlich große und unendlich kleine Zahlen.- Dritter Abschnitt. Funktionen und ihre graphische Darstellung.- 1. Der Begriff Funktion.- 2. Veränderliche und konstante Größen.- 3. Das Achsenkreuz und die graphische Darstellung der Funktionen.- 4. Die gleichseitige Hyperbel.- 6. Nomogramme.- 6. Die Funktion ersten Grades.- 7. Graphische Auflösung von Gleichungen ersten Grades.- 8. Die Funktion zweiten Grades.- 9. Graphische Auflösung von Gleichungen zweiten Grades.- 10. Graphische Auflösung von Gleichungen beliebigen Grades.- 11. Die Funktionsskala.- 12. Der Inhalt bei der gleichseitigen Hyperbel.- Vierter Abschnitt. Die algebraische Auflösung von Gleichungen.- 1. Die Auflösung der quadratischen Gleichungen.- 2. Beziehungen zwischen den Wurzeln und Vorzahlen.- 3. Die Auflösung quadratischer Gleichungen mit dem Rechenschieber.- 4. Nomogramme zur Auflösung quadratischer Gleichungen.- 5. Gleichungen mit mehreren Unbekannten.- Fünfter Abschnitt. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.- 1. Das Potenzieren und seine Umkehrungen.- 2. Die Potenzen mit positiven, ganzen Exponenten.- 3. Die Potenzen mit negativen, ganzen Exponenten..- 4. Die Potenzen mit gebrochenen Exponenten.- 5. Wurzeln.- 6. Die zweite Wurze.- 7. Wurzeln mit geraden und mit ungeraden Exponenten.- 8. Gleichungen, in denen die Unbekannte im Radikanden vorkommt.- 9. Das Portschaffen der Wurzeln aus dem Nenner.- 10. Die Logarithmen.- 11. Die dekadischen Logarithmen.- 12. Die Berechnung der dekadischen Logarithmen aus den natürlichen und umgekehrt.- 13. Exponentialgleichungen.- Sechster Abschnitt. Arithmetische und geometrische Reihen.- 1. Der mathematische Begriff der Reihe.- 2. Die arithmetische Reihe.- 3. Übungen..- 4. Die geometrische Reihe.- 5. Die unendliche fallende geometrische Reihe.- Siebenter Abschnitt. Zins- und Zinseszinsrechnung.- 1. Die Zinsrechnung.- 2. Die Berechnung der Zeit.- 3. Die Diskontrechnung.- 4. Die Kontokorrentrechnung.- 5. Zinseszinsrechnung.- 6. Schuldentilgung, Amortisation von Anleihen.- 7. Zinszuschlag in Bruchteilen des Jahres.- 8. Zinszuschlag in jedem Moment.- Achter Abschnitt. Differential- und Integralrechnung.- 1. Die Greschwindigkeit bei einer ungleichförmigen Bewegung.- 2. Berechnung des Differentialquotienten aus dem Differenzenquotienten.- 3. Geometrische Deutung des Differentialquotienten.- 4. Die Ableitung einer beliebigen Funktion.- 5. Zur Geschichte der Differential- und Integralrechnung.- 6. Beispiele.- 7. Allgemeine Regeln.- 8. Der Differentialquotient von xn nach x.- 9. Die Ableitung der inversen Funktion.- 10. Die Ableitung einer Wurzel.- 11. Die Ableitung einer Funktion von einer Funktion.- 12. Die Ableitung einer Potenz mit Bruchexponenten.- 13. Die Extremwerte einer Funktion.- 14. Der zweite Differentialquotient.- 15. Die Bedeutung des zweiten Differentialquotienten in der Mechanik.- 16. Anwendung der zweiten Ableitung zur Deutung der Extremwerte.- 17. Die Ableitung der impliziten Funktion.- 18. Das Integral.- 19. Allgemeine Integralformeln.- 20. Die geometrische Bedeutungdes Integralsund das bestimmte Integral.- 21. Der natürliche Logarithmus.- 22. Die Integralkurven.- 23. Integralkurven, statische Momente und Trägheitsmomente.- Neunter Abschnitt. Der binomische Lehrsatz.- 1. Der binomische Lehrsatz für positive, ganze Exponenten.- 2. Die Binomialkoeffizienten.- 3. Der Beweis des binomischen Lehrsatzes für positive, ganze Exponenten.- 4. Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen.- 5. Die allgemeine Binomialreihe.- 6. Die Maclaurinsche Reihe.- 7. Der binomische Lehrsatz für negative und gebrochene Exponenten.- 8. Anwendungen des binomischen Lehrsatzes.- 9. Die Exponentialreihe.- 10. Die Reihen für ax, sin x, cos x.- Einführung in die Vektorrechnung.- Erster Abschnitt. Addition und Subtraktion der Vektoren.- 1. Skalare und Vektoren.- 2. Geometrische Darstellung und Gleichheit der Vektoren.- 3. Addition von Vektoren.- 4. Subtraktion von Vektoren.- 5. Übungen.- Zweiter Abschnitt. Multiplikation der Vektoren.- 1. Das skalare Produkt. (Inneres Produkt; Arbeitsprodukt).- 2. Übungen.- 3. Das Vektorprodukt. (Äußeres Produkt; Momentprödukt).- 4. Übungen.- Dritter Abschnitt. Differentiation nach einem Skalar.- 1. Die Differentiationsregeln.- 2. Die Ableitung eines Einheitsvektors.- 3. Übungen.- Trigonometrie.- Erster Abschnitt. Die Winkelfunktionen im Einheitskreise.- 1. Die Wmkelmessung.- 2. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten.- 3. Umrechnung der kartesischen in Polarkoordinaten.- 4. Die allgemeinen Definitionen der Winkelfunktionen.- 5. Die Vorzeichen und die Grenzwerte der Winkelfunktionen.- 6. Einige spezielle Werte der Winkelfunktionen.- 7. Die graphische Darstellung der Winkelfunktionen.- Zweiter Abschnitt. Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen und im schiefwinkligen Dreieck.- 1. Das rechtwinklige Dreieck.- 2. Der Sinussatz.- 3. Der Kosinussatz.- 4. Der Inhalt des Dreiecks.- Dritter Abschnitt. Die Tabellen der Winkelfunktionen.- 1. Tabellen der natürlichen Werte der Winkelfunktionen.- 2. Die Werte der Funktionen stumpfer Winkel.- 3. Die Logarithmen der Winkelfunktionen.- Vierter Abschnitt. Beispiele zur Berechnung rechtwinkliger und schiefwinkliger Dreiecke.- 1. Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.- 2. Die erste Hauptaufgabe der Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.- 3. Die zweite Hauptaufgabe.- 4. Die dritte Hauptaufgabe.- 5. Die vierte Hauptaufgabe.- 6. Rechnung nach dem Sinussatz mitdem Rechenschieber.- Fünfter Abschnitt. Goniometrische Formeln.- 1. Geschichtliches.- 2. Die ersten Additionstheoreme (Addition der Winkel).- 3. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen doppelter und halber Winkel.- 4. Die zweiten Additionstheoreme (Addition der Funktionen).- 5. Übungen.- Sechster Abschnitt. Die Berechnung der Kreisteile.- 1. Die Bogenlänge.- 2. Funktionen kleiner Winkel.- 3. Der Kreisausschnitt.- 4. Der Ausschnitt aus einem Kreisring.- 5. Der Kreisabschnitt.- 6. Bogenhöhe und Sehnenlänge.- 7. Übungsbeispiel.- Siebenter Abschnitt. Die Ableitungen der Winkelfunktionen.- 1. Die Differentiation von Sinus und Kosinus.- 2. Die Differentiation von Tangens und Kotangens.- Geometrie.- Erster Abschnitt. Allgemeine Einleitung.- 1. Gerade und Ebene.- 2. Parallele Geraden und Ebenen.- 3. Geraden im Raum.- 4. Parallelverschiebung oder Translation.- 5. Senkrechte Geraden und Ebenen.- 6. Der Körper.- Zweiter Abschnitt. Die Inhalte geradlinig begrenzter, ebener Figuren.- 1. Das Flächenmaß.- 2. Das Eechteck.- 3. Das Parallelogramm.- 4. Das Dreieck und das Trapez.- 5. Anwendung.- Dritter Abschnitt. Das Prisma.- 1. Definitionen.- 2. Das Körpermaß.- 3. Das Volumen des Quaders und des geraden Prismas.- 4. Das schiefe Prisma.- 5. Übungsbeispiel.- Vierter Abschnitt. Die Inhalte krummlinig begrenzter, ebener Figuren.- 1. Flächenbestimmung mitHilfe von quadratischgeteiltem Papier.- 2. Flächenmessung durch Wägung.- 3. Das Polarplanimeter.- 4. Der Integrator.- 5. Der Kreisinhalt und der Kreisumfang.- Fünfter Abschnitt. Der Zylinder.- 1. Volumen und Mantel des Zylinders.- 2. Der Hohlzylinder.- 3. Übungen.- Sechster Abschnitt. Die Guldinschen Regeln.- 1. Die Rotation eines Rechtecks um eine Achse.- 2. Die erste Gruldinsche Regel.- 3. Übungen.- 4. Rotation einer Geraden um eine Achse.- 5. Die zweite Guldinsche Regel.- Siebenter Abschnitt. Pyramide und Kegel, Pyramidenstumpf und Kegelstumpf.- 1. Die Definition der Pyramide.- 2. Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide.- 3. Das Volumen der Pyramide.- 4. Der Kegel.- 5. Der Pyramidenstumpf.- 6. Der Kreiskegelstumpf.- 7. Übungen.- Achter Abschnitt. Kugel und Kugelteile.- 1. Das Volumen beliebiger Körper.- 2. Anwendung.- 3. Das Kugelvolumen.- 4. Der Kugelabschnitt.- 5. Übungsaufgabe.- 6. Der Kugelausschnitt.- 7. Die Kugeloberfläche.- 8. Die Kugelkappe.- 9. Die Kugelzone.- 10. Die Kugelschicht..- 11. Schwerpunktsberechnungen durch die Guldinschen Regeln.- Neunter Abschnitt. Die Simpsonsche Regel.- 1. Das Prismatoid.- 2. Merkmal für alle Körper, die nach der Simpsonschen Regel zu berechnen sind.- 3. Beispiele.- Zehnter Abschnitt. Näherungsformeln für die Berechnung willkürlich begrenzter Flächen.- 1. Die Verwandlung in ein Rechteck.- 2. Die Trapezregel.- 3. Die Simpsonsche Regel.- 4. Beispiel.- 5. Die Formeln für beliebig viele Streifen.- Elfter Abschnitt. Die analytische Behandlung der geraden Linie.- 1. Drei Gleichungen der geraden Linie.- 2. Der Schnittpunkt zweier Geraden.- 3. Der Winkel zweier Geraden.- 4. Parallele und senkrechte Geraden.- Zwölfter Abschnitt. Die Parabel.- 1. Die Gleichung der Parabel.- 2. Tangente und Normale.- 3. Subtangente und Subnormale.- 4. Das Lot vom Brennpunkt auf die Tangente.- 5. Der Parabelabschnitt.- Dreizehnter Abschnitt. Die Epipse und die Hyperbel.- 1. Die Gleichungen der Ellipse und der Hyperbel.- 2. Die Diskussion der Kurvengleichung.- 3. Durchmesser und Asymptoten.- 4. Die Tangenten.- 5. Die Brennpunktseigenschaft.- 6. Der Inhalt der Ellipse.- Vierzehnter Abschnitt. Der Kreis und die gleichseitige Hyperbel.- 1. Die Gleichungen der Kurven.- 2. Die Parallelverschiebung des Achsenkreuzes.- 3. Die gleichseitige Hyperbel, bezogen auf ihre Asymptoten als Achsen.- 4. Die Konstruktion der gleichseitigen Hyperbel.- 5. Anwendungen.- Fünfzehnter Abschnitt. Die Krümmung der Kurven, Evolute und Evolvente.- 1. Der Krümmungskreis und die Krümmung.- 2. Die Berechnung des Krümmungsradius.- 3. Anwendungen.- 4. Evolute und Evolvente.- Sechzehnter Abschnitt. Parabeln und Hyperbeln höherer Ordnung.- 1. Parabeln und Hyperbeln höherer Ordnung.- 2. Anwendungen.- 3. Die kubische und die semikubische Parabel.- 4. Anwendungen.- Siebzehnter Abschnitt. Die Zykloiden.- 1. Die Entstehung der Zykloiden.- 2. Die Konstruktion der Zykloiden.- 3. Tangente und Normale.- 4. Spezielle Hypozykloiden.