Mathematik für Fachschulen Technik

Mit diesem neuen Werk wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das ganz auf die Belange der Praxis abgestimmt ist. I nhaltlich umfafH es den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Fachschulen fiir Tech­ nik, ist aber in seinen wesentlichen Ziigen so gehalten, da~ einer Verwendung in anderen Schularten, die zu einem mittleren Bildungsabschlu~ (Fachschulreife) fiihren, nichts im Wege steht. Der didaktische Leitgedanke war, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu ver­ mitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt au~er acht zu lassen. Dabei wurde eine geeignete Auswahl mathematisch-technischer Aufgaben getroffen, die speziell fiir Fachschulen von Bedeutung sind. Bewu~t wurde auf Aufgaben aus Physik und angewandten Gebieten verzichtet, die durch ausfiihrliche Sachklarungen den mathemati­ schen Sachverhalt iiberwuchern wiirden. Die knappe Darstellung und die konsequente Zweispaltigkeit der Buchseiten, bei denen der erklarende Text der praktischen Ausfiihrung mathematischer Berechnungen gegen­ iibergestellt ist, erleichtert das schnelle und griindliche Einarbeiten in das Stoffgebiet. Viele Aufgabenbeispiele mit Losungsgang erlauben es dem Benutzer, sein Konnen und Wissen selbst zu iiberpriifen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren An­ wendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich deshalb das Buch auch zum Selbststudium. Heinz Rapp Bad Cannstatt, im Juni 1983 VI I nhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Teil I: Algebra Mathematische 8egriffe und Schreibweisen ....................... . 1.1 Zahlen ., ......................................... .

I: Algebra.- 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen.- 1.1 Zahlen.- 1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden.- 1.2 Mengen.- 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise.- 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise.- 1.2.3 Mengendiagramme.- 1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen).- 1.2.5 Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen).- 1.2.6 Gesetze der Mengenverknüpfung.- 1.3 Symbole für Relationen und Intervalle.- 1.4 Symbole der Logik.- 1.5 Terme.- 2 Rechnen mit Termen.- 2.1 Addition.- 2.1.1 Addition positiver Zahlen.- 2.1.2 Addition negativer Zahlen.- 2.1.3 Addition positiver und negativer Zahlen.- 2.2 Subtraktion.- 2.3 Rechnen mit Klammerausdrücken.- 2.4 Multiplikation.- 2.4.1 Grundgesetze der Multiplikation.- 2.4.2 Produkte mit negativen Zahlen.- 2.4.3 Multiplikation mit Null (Nullprodukt).- 2.4.4 Multiplikation mit Summentermen (Distributivges.).- 2.4.5 Multiplikation mit gleichen Summentermen (Binomische Formeln).- 2.5 Division.- 2.5.1 Rationale Zahlen.- 2.5.2 Erweitern von Bruchtermen.- 2.5.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen.- 2.5.4 Kürzen von Bruchtermen.- 2.5.5 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen.- 2.5.5.1 Vorzeichenregeln bei negativen Brüchen.- 2.5.5.2 Die Null in Divisionsaufgaben.- 2.5.5.3 Multiplizieren von Bruchtermen.- 2.5.5.4 Dividieren von Bruchtermen.- 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen.- 3.1 Äquivalenz von Aussageformen.- 3.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungen.- 3.2.1 Einfache lineare Gleichungen.- 3.3 Bruchgleichungen.- 3.4 Gleichungen mit Formvariablen (Formeln).- 3.5 Lineare Ungleichungen.- 3.5.1 Begriffsklärung.- 3.5.2 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen.- 3.5.3 Einfache Ungleichungsformen.- 3.5.4 Bruchungleichungen.- 3.6 Textliche Gleichungen.- 3.6.1 Allgemeine textliche Gleichungen.- 3.6.2 Mischungsaufgaben.- 3.6.3 Bewegungsaufgaben.- 3.6.4 Behälteraufgaben.- 3.6.5 Arbeitsaufgaben.- 4 Funktionen des 1. Grades.- 4.1 Der Funktionsbegriff.- 4.2 Darstellung von Funktionen.- 4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem.- 4.3.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem.- 4.3.2 Das Polarkoordinatensystem.- 4.4 Funktionsdarstellung von Geraden.- 4.5 Die lineare Funktion x ? mx.- 4.6 Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b (Hauptform der Geradengl.).- 4.7 Andere Formen der Geradengleichung.- 4.7.1 Punkt-Steigungs-Form.- 4.7.2 Zwei-Punkte-Form.- 4.7.3 Achsenabschnittsform.- 4.7.4 Hesse-Form der Geradengleichung.- 4.8 Winkel zwischen Geraden.- 4.8.1 Winkel zwischen Gerade und x-Achse (Steigung und Steigungswinkel).- 4.8.2 Schnittwinkel zweier Geraden.- 4.9 Orthogonalität bei Geraden.- 4.10 Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge.- 5 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen.- 5.1 Graphisches Lösungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen.- 5.2 Rechnerische Lösungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen.- 5.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren.- 5.2.2 Das Einsetzungsverfahren.- 5.2.3 Das Additionsverfahren.- 5.2.4 Gleichungssysteme mit Bruchtermen.- 5.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen.- 5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen.- 5.4.1 Mischungsaufgaben.- 5.4.2 Bewegungsaufgaben.- 5.4.3 Behälteraufgaben.- 5.4.4 Vermischte Aufgaben.- 6 Lineare Ungleichungssysteme.- 7 Lineares Optimieren.- 8 Potenzen.- 8.1 Potenzbegriff.- 8.2 Potenzrechnung.- 8.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen.- 8.2.2 Multiplikation von Potenzen.- 8.2.2.1 Potenzen mit gleicher Basis.- 8.2.2.2 Potenzen mit gleichem Exponenten.- 8.2.3 Division von Potenzen.- 8.2.3.1 Potenzen mit gleicher Basis.- 8.2.3.2 Potenzen mit gleichem Exponenten.- 8.2.4 Potenzieren von Potenzen.- 8.2.5 Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit ganzen negativen Hochzahlen, auf a° und a1.- 8.3 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen).- 8.4 Potenzen von Binomen.- 9 Potenzfunktionen.- 9.1 Die Funktion x?xn (n e IN).- 9.1.1 Achsensymmetrische Parabeln (n gerade).- 9.1.2 Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade).- 9.2 Die Funktionen x ? x?n (n ? IN).- 9.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade).- 9.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade).- 10 Wurzeln.- 10.1 Wurzelbegriff.- 10.1.1 Quadratwurzeln.- 10.1.1.1 Der Wurzelwert als positive Zahl.- 10.1.1.2 Wurzeln als irrationale Zahlen.- 10.1.2 Der Allgemeine Wurzelbegriff.- 10.2 Rechnen mit Wurzeltermen.- 11 Quadratische Gleichungen.- 11.1 Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen.- 11.1.1 Reinquadratische Gleichungen.- 11.1.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defektquadratische Gleichungen).- 11.1.3 Gemischtquadratische Gleichungen.- 11.1.4 Koeffizientenregel von Vieta.- 11.1.5 Biquadratische Gleichungen.- 11.2 Quadratische Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungsvariablen.- 11.3 Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen.- 12 Quadratische Funktionen.- 12.1 Die allgemeine quadratische Funktion x ? ax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung.- 12.2 Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung.- 12.3 Graphische Lösung quadratischer Gleichungen.- 13 Wurzelfunktionen.- 13.1 Quadratwurzelfunktionen.- 13.2 Wurzelfunktionen höherer Ordnung.- 14 Wurzelgleichungen.- 14.1 Wurzelgleichungen mit einer Variablen (Quadratwurzelgleichungen).- 14.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen.- 15 Exponentialfunktionen.- 15.1 Die allgemein Exponentialfunktion.- 15.2 Die e-Funktion.- 16 Logarithmen.- 16.1 Logarithmenbegriff.- 16.2 Logarithmensysteme.- 16.2.1 Zehnerlogarithmen.- 16.2.2 Natürliche Logarithmen.- 16.3 Das Rechnen mit Logarithmen.- 16.3.1 Logarithmengesetze.- 16.3.2 Logarithmische Berechnung von Termen.- 17 Logarithmusfunktionen.- 17.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion.- 17.2 Die natürliche Logarithmusfunktion.- 18 Exponentialgleichungen.- 19 Kreisgleichungen.- 19.1 Mittelpunktgleichung eines Kreises.- 19.2 Allgemeine Kreisgleichung.- 19.3 Kreis und Gerade.- 20 Das Dualsystem.- 20.1 Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen.- 20.2 Rechnen mit Dualzahlen.- 20.3 Das Dezimal-Dual-System (BCD-Code).- 21 Schaltalgebra.- 21.1 Grundfunktionen.- 21.2 Rechengesetze der Schaltalgebra.- 21.3 Darstellung von Verknüpfungsgliedern im Signalschaltplan.- II: Geometrie.- 1 Mathematische Abkürzungen und Bezeichnungen.- 2 Grundbegriffe der Geometrie.- 2.1 Linien.- 2.2 Geometrische Grundfiguren.- 3 Winkel.- 3.1 Winkelmaße.- 3.2 Winkelarten.- 3.3 Winkel am Dreieck.- 4 Geometrische Konstruktionen.- 4.1 Geometrische Ortslinien.- 4.1.1 Definition.- 4.1.2 Arten von Ortslinien.- 4.2 Besondere Dreiecke - Symmetrische Dreiecke.- 4.3 Kongruenz bei Dreiecken.- 4.4 Grundkonstruktionen von Dreiecken.- 4.5 Besondere Linien und Punkte im Dreieck.- 5 Dreieckskonstruktionen.- 6 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck.- 6.1 Satz des Pythagoras.- 6.2 Kathetensatz (Euklid).- 6.3 Höhensatz.- 7 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke.- 7.1 Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks.- 7.2 Berechnung des gleichseitigen Dreiecks.- 8 Ähnlichkeit und Strahlensätze.- 8.1 Strahlensätze.- 8.2 Streckenteilung und Mittelwerte.- 8.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt).- 9 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.- 9.1 Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen.- 9.2 Definitionen der Winkelfunktionen.- 9.3 Längen- und Winkelberechnungen am rechtwinkligen Dreieck.- 9.3.1 Die Sinusfunktion ..- 9.3.2 Die Kosinusfunktion.- 9.3.3 Die Tangens- und Kotangensfunktion.- 9.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen.- 9.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel.- 9.6 Die Graphen der Winkelfunktionen.- 9.6.1 Die Schaubilder der Sinus-und Kosinusfunktion.- 9.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung.- 9.6.3 Die Schaubilder der Tangens-und Kotangensfunktion.- 10 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck.- 10.1 Sinussatz.- 10.2 Kosinussatz.- 10.3 Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks.- 11 Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen (Additionstheoreme).- 11.1 Funktionen von Winkelvielfachen und Winkelteilen.- 11.2 Gleichungen mit Winkelfunktionen (Goniometrische Gleichungen).- 12 Flächenberechnung.- 12.1 Geradlinig begrenzte Flächen.- 12.2 Kreisförmig begrenzte Flächen.- 13 Körperberechnung.- 13.1 Prismatische Körper.- 13.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper.- 13.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf.- 13.2.2 Kegel und Kegelstumpf.- 13.3 Kugelförmige Körper.- 13.3.1 Vollkugel.- 13.3.2 Kugelteile.- 13.3.2.1 Kugelabschnitt (Kugelsegment).- 13.3.2.2 Kugelschicht.- 13.3.2.3 Kugelausschnitt (Kugelsektor).- 13.4 Schiefe Körper.- 13.4.1 Satz des Cavalieri.- 13.4.2 Simpsonsche Regel.- 13.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern (Guldinsche Regel).- Lösungen Teil I.- Lösungen Teil II.- Sachwortverzeichnis.