Mathematik für Physiker

13 Funktionen mehrerer Variablen, skalare Felder und Vektorfelder.- 13.1 Einleitung.- 13.2 Der Begriff der Funktion mehrerer Variablen.- 13.3 Das skalare Feld.- 13.4 Das Vektorfeld.- 13.5 Spezielle Vektorfelder.- 13.5.1 Das homogene Vektorfeld.- 13.5.2 Das radialsymmetrische Feld.- 13.5.3 Ringförmiges Vektorfeld.- 13.6 Übungsaufgaben.- 14 Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient.- 14.1 Die partielle Ableitung.- 14.1.1 Mehrfache partielle Ableitung.- 14.2 Das totale Differential.- 14.3 Der Gradient.- 14.3.1 Gradient bei Funktionen zweier Variablen.- 14.3.2 Gradient bei Funktionen dreier Variablen.- 14.4 Übungsaufgaben.- 15 Mehrfachintegrale, Koordinatensysteme.- 15.1 Mehrfachintegrale als Lösung von Summierungsaufgaben.- 15.2 Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen.- 15.3 Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen.- 15.4 Koordinaten.- 15.4.1 Polarkoordinaten.- 15.4.2 Zylinderkoordinaten.- 15.4.3 Kugelkoordinaten.- 15.5 Anwendungen: Volumen und Trägheitsmoment.- 15.5.1 Volumen.- 15.5.2 Trägheitsmoment.- 15.6 Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Integrationsgrenzen.- 15.7 Kreisfläche in kartesischen Koordinaten.- 15.8 Übungsaufgaben.- 16 Parameterdarstellung, Linienintegral.- 16.1 Parameterdarstellung von Kurven.- 16.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter.- 16.3 Das Linienintegral.- 16.3.1 Berechnung von speziellen Linienintegralen.- 16.3.2 Berechnung des Linienintegrals im allgemeinen Fall.- 16.4 Übungsaufgaben.- 17 Oberflächenintegrale.- 17.1 Der Vektorfluß durch eine Fläche.- 17.2 Das Oberflächenintegral.- 17.3 Berechnung des Oberflächenintegrals für Spezialfälle.- 17.3.1 Der Fluß eines homogenen Feldes durch einen Quader.- 17.3.2 Der Fluß eines radialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche.- 17.4 Berechnung des Oberflächenintegrals im allgemeinen Fall.- 17.5 Fluß des elektrischen Feldes einer Punktladung durch eine Kugeloberfläche mit Radius R.- 17.6 Übungsaufgaben.- 18 Divergenz und Rotation.- 18.1 Divergenz eines Vektorfeldes.- 18.2 Integralsatz von Gauß.- 18.3 Rotation eines Vektorfeldes.- 18.4 Integralsatz von Stokes.- 18.5 Potential eines Vektorfeldes.- 18.6 Anhang.- 18.7 Übungsaufgaben.- 19 Koordinatentransformationen und Matrizen.- 19.1 Koordinatenverschiebungen — Translationen.- 19.2 Drehungen.- 19.2.1 Drehungen im zweidimensionalen Raum.- 19.2.2 Mehrfache Drehung.- 19.2.3 Drehungen im dreidimensionalen Raum.- 19.3 Matrizenrechnung.- 19.4 Darstellung von Drehungen in Matrizenform.- 19.5 Spezielle Matrizen.- 19.6 Inverse Matrix.- 19.7 Übungsaufgaben.- 20 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten.- 20.1 Lineare Gleichungssysteme.- 20.1.1 Gauß’sches Eliminationsverfahren, schrittweise Elimination der Variablen.- 20.1.2 Gauß-Jordan Elimination.- 20.1.3 Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme und Bestimmung der inversen Matrix.- 20.1.4 Existenz von Lösungen.- 20.2 Determinanten.- 20.2.1 Einführung.- 20.2.2 Definition und Eigenschaften der n-reihigen Determinante.- 20.2.3 Rang einer Determinante und Rang einer Matrix.- 20.2.4 Anwendungsbeispiele für die Determinantenschreibweise.- 20.2.5 Cramersche Regel.- 20.3 Übungsaufgaben.- 21 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 21.1 Eigenwerte von 2 · 2 Matrizen.- 21.2 Bestimmung von Eigenwerten.- 21.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3 Matrix.- 21.4 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 21.5 Übungsaufgaben.- 22 Fourierreihen.- 22.1 Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe.- 22.2 Beispiele für Fourierreihen.- 22.2.1 Symmetriebetrachtungen.- 22.2.2 Rechteckschwingung, Kippschwingung, Dreieckschwingung.- 22.3 Die Fourierreihe für Funktionen beliebiger Periode T.- 22.4 Fourierreihe in spektraler Darstellung.- 22.5 Übungsaufgaben.- 23 Fourier-Integrale.- 23.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourier-Integral.- 23.2 Fourier-Transformationen.- 23.2.1 Fourier-Kosinustransformation.- 23.2.2 Fourier-Sinustransformation.- 23.2.3 Komplexe Darstellung der Fourier-Transformation.- 23.3 Verschiebungssatz.- 23.4 Diskrete Fourier-Transformation, Abtasttheorem.- 23.5 Fourier-Transformation der Gaußschen Funktion.- 23.6 Übungsaufgaben.- 24 Laplace-Transformationen.- 24.1 Integral-Transformationen, Laplace-Transformationen.- 24.1.1 Integral-Tranformation.- 24.1.2 Die Laplace-Transformation.- 24.1.3 Die Rücktransformation.- 24.2 Laplace-Transformation von Standardfunktionen und allgemeine Regeln.- 24.2.1 Laplace-Transformation einer Konstanten.- 24.2.2 Laplace-Transformation einer Exponentialfunktion.- 24.2.3 Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen.- 24.2.4 Laplace-Transformation einer linearen Funktion.- 24.2.5 Verschiebungssatz.- 24.2.6 Dämpfungssatz.- 24.2.7 Linearitätssatz.- 24.2.8 Laplace-Transformation von Ableitungen.- 24.2.9 Laplace-Transformation von Potenzen.- 24.3 Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 24.4 Lösung von simultanen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 24.5 Übungsaufgaben.- 25 Die Wellengleichungen.- 25.1 Wellenfunktionen.- 25.2 Die Wellengleichung.- 25.3 Übungsaufgaben.- Sachwortverzeichnis.