Methoden Der Mathematischen Physik : Erster Band -Language: german

Courant, Richard; Hilbert, David

ISBN 10: 3642471471 / ISBN 13: 9783642471476

Editore: Springer, 1931

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Codice articolo 20185615

Dati bibliografici

• Titolo: Methoden Der Mathematischen Physik : Erster Band -Language: german
• Editore: Springer
• Data di pubblicazione: 1931
• Lingua: Tedesco
• ISBN 10: 3642471471
• ISBN 13: 9783642471476
• Rilegatura: Brossura
• Edizione: seconda edizione
• Condizione: As New

Descrizione articolo

Riassunto

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Contenuti

Erstes Kapitel. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen.- I. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen.- 1. Vektoren.- 2. Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit.- 3. Lineare Transformationen, Matrizen.- 4. Bilinearformen, quadratische und hermitesche Formen.- 5. Orthogonale und unitäre Transformationen.- 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter.- 3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen.- 1. Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines Maximumprinzips.- 2. Charakteristische Zahlen und Eigenwerte.- 3. Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen.- 4. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen.- 5. Darstellung der Resolvente einer Form.- 6. Lösung des zu einer Form gehörigen linearen Gleichungssystems.- 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 1. Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum-Maximumproblem.- 2. Anwendungen.- 5. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante.- 2. Determinantenabschätzung von Hadamard.- 3. Simultane Transformation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt.- 4. Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Va riablen.- 5. Unendlich kleine lineare Transformationen.- 6. Variierte Systeme.- 7. Die Auferlegung einer Bindung.- 8. Elementarteiler einer Matrix oder einer Bilinearform.- 9. Spektrum einer unitären Matrix.- Literatur zum ersten Kapitel.- Zweites Kapitel. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen.- I. Orthogonale Funktionensysteme.- 1. Definitionen.- 2 Orthogonalisierung von Funktionen.- 3. Besselsche Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel.- 4. Orthogonale und unitäre Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen.- 5. Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraussetzungen.- 6. Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variabein.- 2. Das Häufungsprinzip für Funktionen.- 1. Konvergenz im Funktionenraum.- 3. Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzah.- 1. Unabhängigkeitsmaß.- 2. Asymptotische Dimensionenzahl einer Funktionenfolge.- 4. Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen.- 1. Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 2. Ausdehnung des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 3. Gleichzeitige Approximation der Ableitungen.- 4. Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen.- 5. Die Fouriersche Reihe.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Mehrfache Fouriersche Reihen.- 3. Die Größenordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffizienten.- 4. Streckung des Grundgebietes.- 5. Einige Beispiele.- 6. Das Fouriersche Integral.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Ausdehnung des Resultates auf mehr Variable.- 3. Reziprozitätsformeln.- 7. Beispiele für das Fouriersche Integral.- 8. Die Polynome von Legendre.- 1. Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1, x,x2.- 2. Die erzeugende Funktion.- 3. Weitere Eigenschaften.- 9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme.- 1. Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden Fragestellung.- 2. Die Tschebyscheffschen Polynome.- 3. Die Jacobischen Polynome.- 4. Die Hermiteschen Polynome.- 5. Die Laguerreschen Polynome.- 6. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.- 10. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems.- 2. Reziprozitätsformeln.- 3. Fouriersches Integral und mittlere Konvergenz.- 4. Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe und Fouriersches Integral.- 5. Dichte Funktionensysteme.- 6. Ein Satz von H. Müntz über die Vollständigkeit von Potenzen.- 7. Der Fejérsche Summationssatz.- 8. Die Mellinschen Umkehrformeln.- 9. Das Gibbssche Phänomen.- 10. Ein Satz über die Gramsche Determinante.- 11. Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes.- Literatur zum zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel. Theorie der linearen Integralgleichungen.- 1. Vorbereitende Betrachtungen.- 1. Bezeichnungen und Grundbegriffe.- 2. Quellenmäßig dargestellte Funktionen.- 3. Ausgeartete Kerne.- 2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne.- 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern.- 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte.- 1. Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern.- 2. Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte.- 3. Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen.- 1. Der Entwicklungssatz.- 2. Auflösung der inhomogenen linearen Integralgleichung.- 3. Die Bilinearformel für die iterierten Kerne.- 4. Der Mercersche Satz.- 6. Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern.- 7. Die Fredholmschen Formeln.- 8. Neubegründung der Theorie.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Eigenfunktionen eines symmetrischen Kernes.- 3. Unsymmetrische Kerne.- 4. Stetige Abhängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen vom Kern.- 9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie.- 10. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- 1. Beispiele.- 2. Singuläre Integralgleichungen.- 3. Methode von E. Schmidt zur Herleitung der Sätze von Fredholm.- 4. Methode von Enskog zur Auflösung symmetrischer Integralgleichungen.- 5. Methode von Kellogg zur Bestimmung von Eigenfunktionen.- 6. Symbolische Funktionen eines Kerns und ihre Eigenwerte.- 7. Beispiel eines unsymmetrischen Kerns ohne Nullösungen.- 8. Volterrasche Integralgleichungen.- 9. Abelsche Integralgleichung.- 10. Die zu einem unsymmetrischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme.- 11. Integralgleichungen erster Art.- 12. Die Methode der unendlich vielen Variablen.- 13. Minimumeigenschaften der Eigenfunktionen.- 14. Polare Integralgleichungen.- 15. Symmetrisierbare Kerne.- 16. Bestimmung des lösenden Kernes durch Funktionalgleichungen.- 17. Die Stetigkeit der definiten Kerne.- 18. Satz von Hammerstein.- Literatur zum dritten Kapitel.- Viertes Kapitel. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung.- 1. Die Problemstellung der Variationsrechnung.- 1. Maxima und Minima von Funktionen.- 2. Funktionenfunktionen.- 3. Die typischen Probleme der Variationsrechnung.- 4. Die charakteristischen Schwierigkeiten der Variationsrechnung.- 2. Ansätze zur direkten Lösung.- 1. Isoperimetrisches Problem.- 2. Das Ritzsche Verfahren. Minimalfolgen.- 3. Weitere direkte Methoden. Differenzenverfahren. Unendlich viele Veränderliche.- 4. Prinzipielles über die direkten Methoden der Variationsrechnung.- 3. Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung.- 1. Das einfachste Problem der Variationsrechnung.- 2. Mehrere gesuchte Funktionen.- 3. Auftreten höherer Ableitungen.- 4. Mehrere unabhängige Variable.- 5. Identisches Verschwinden des Eulerschen Differentialausdruckes. Divergenzausdrücke.- 6. Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichungen.- 7. Variationsprobleme mit Erweiterung der Zulassungsbedingungen. Sätze von du Bois-Reymond und Haar.- 8. Andere Variationsprobleme und ihre Funktionalgleichungen.- 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung.- 5. Randbedingungen.- 1. Natürliche Randbedingungen bei freien Rändern.- 2. Geometrische Probleme. Transversalität.- 6. Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung.- 7. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen.- 1. Isoperimetrische Probleme.- 2. Endliche Bedingungsgleichungen.- 3. Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 8. Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen.- 1. Der Eulersche Ausdruck als Gradient im Funktionenraume. Invarianz des Eulerschen Ausdruckes.- 2. Transformationen von ? u. Polarkoordinaten.- 3. Elliptische Koordinaten.- 9. Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt.- 1. Transformation bei gewöhnlichen Minimumproblemen mit Nebenbedingungen.- 2. Die involutorische Transformation der einfachsten Variationsprobleme.- 3. Die Transformation des Variationsproblems in die kanonische Gestalt.- 4. Verallgemeinerungen.- 10. Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik.- 1. Allgemeines.- 2. Schwingende Saite (Seil) und schwingender Stab.- 3. Membran und Platte.- 11. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- 1. Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung.- 2. Reziprozität bei isoperimetrischen Problemen.- 3. Kreisförmige Lichtstrahlen.- 4. Das Problem der Dido.- 5. Beispiel eines räumlichen Problems.- 6. Das isoperimetrische Problem auf einer krummen Fläche.- 7. Die Indikatrix und ihre Anwendungen.- 8. Variation bei veränderlichem Gebiet.- 9. Die Sätze von E. Noether über invariante Variationsprobleme. Integrale in der Punktmechanik.- 10. Transversalität bei mehrfachen Integralen.- 11. Eulersche Differentialausdrücke auf krummen Flächen.- 12. Das Thomsonsche Prinzip der Elektrostatik.- 13. Gleichgewichtsprobleme beim elastischen Körper. Prinzip von Castigliano.- 14. Das Prinzip von Castigliano in der Balkentheorie.- 15. Das Variationsproblem der Knickung.- Literatur zum vierten Kapitel.- Fünftes Kapitel Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen.- 1. Allgemeines. Das Superpositionsprinzip.- 2. Homogene und unhomogene Probleme. Randbedingungen.- 3. Formale Beziehungen. Adjungierte Differentialausdrücke. Greensche Formeln.- 4. Lineare Funktionalgleichungen als Grenzfälle und Analoga von Systemen linearer Gleichungen.- 2. Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden.- 1. Hauptschwingungen. Normalkoordinaten. Allgemeine Theorie des Bewegungsvorganges.- 2. Allgemeine Eigenschaften der schwingenden Systeme.- 3. Die schwingende Saite.- 1. Freie Bewegungen der homogenen Saite.- 2. Erzwungene Bewegungen.- 3. Die allgemeine unhomogene Saite und das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem.- 4. Der schwingende Stab.- 5. Die schwingende Membran.- 1. Das allgemeine Eigenwertproblem der homogenen Membran.- 2. Erzwungene Bewegungen.- 3. Knotenlinien.- 4. Rechteckige Membran.- 5. Kreisförmige Membran. Besselsche Funktionen.- 6. Die unhomogene Membran.- 6. Die schwingende Platte.- 1. Allgemeines.- 2. Kreisförmige Begrenzung.- 7. Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen.- 1. Die Methode bei Schwingungs- und Gleichgewichtsproblemen.- 2. Wärmeleitung und Eigenwertprobleme.- 3. Sonstiges Auftreten von Eigenwertproblemen.- 8. Schwingungen dreidimensionaler Kontinua.- 9. Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen.- 1. Kreis, Kugel, Kugelschale.- 2. Zylindrisches Gebiet.- 3. Das Lamésche Problem.- 10. Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singuläre Randpunkte.- 1. Besselsche Funktionen.- 2. Legendresche Funktionen beliebiger Ordnung.- 3. Jacobische und Tschebyscheffsche Polynome.- 4. Hermitesche und Laguerresche Polynome.- 11. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen.- 1. Beschränktheit bei unendlich anwachsender unabhängiger Variabler.- 2. Verschärfung des Resultates (Besselsche Funktionen).- 3. Beschränktheit bei wachsendem Parameter.- 4. Asymptotische Darstellung der Lösungen.- 5. Asymptotische Darstellung der Sturm-Liouvilleschen Eigenfunktionen.- 12. Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum.- 1. Die trigonometrischen Funktionen.- 2. Die Besselschen Funktionen.- 3. Das Eigenwertproblem der Schwingungsgleichung für die unendliche Ebene.- 4. Das Schrödingersche Eigenwertproblem.- 13. Störungsrechnung.- 1. Einfache Eigenwerte.- 2. Mehrfache Eigenwerte.- 3. Ein Beispiel zur Störungstheorie.- 14. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen.- 1. Die Greensche Funktion und das Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen.- 2. Die Konstruktion der Greenschen Funktion und die Greensche Funktion im erweiterten Sinne.- 3. Äquivalenz von Differentialgleichungs- und Integralgleichungsproblem.- 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 5. Partielle Differentialgleichungen.- 15. Beispiele für Greensche Funktionen.- 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 2. Greensche Funktion von ?u für Kreis und Kugel.- 3. Greensche Funktion und konforme Abbildung.- 4. Die Greensche Funktion der Potentialgleichung für eine Kugeloberfläche.- 5. Die Greensche Funktion der Gleichung ?u = 0 für ein Rechtflach.- 6. Die Greensche Funktion von ?u für das Innere eines Rechtecks.- 7. Die Greensche Funktion für einen Kreisring.- 16. Ergänzungen zum fünften Kapitel.- 1. Beispiele zur schwingenden Saite.- 2. Schwingungen des frei herabhängenden Seils und Besselsche Funktionen.- 3. Weitere Beispiele für explizit lösbare Fälle der Schwingungsgleichung. Funktionen von Mathieu.- 4. Parameter in den Randbedingungen.- 5. Greensche Tensoren für Differentialgleichungssysteme.- 6. Analytische Fortsetzung der Lösungen der Gleichung ?u + ?u = 0.- 7. Ein Satz über die Knotenlinien der Lösungen von ?u + ?u = 0.- 8. Beispiel für einen Eigenwert unendlich hoher Ordnung.- 9. Grenzen für die Gültigkeit der Entwicklungssätze.- Literatur zum fünften Kapitel.- Sechstes Kapitel. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme.- 1. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 1. Die klassischen Extremumseigenschaften.- 2. Ergänzungen und Verallgemeinerungen.- 3. Eigenwertprobleme für Bereiche mit getrennten Bestandteilen.- 4. Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 2. Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 1. Allgemeine Sätze.- 2. Das unendliche Anwachsen der Eigenwerte.- 3. Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte beim Sturm-Liouvilleschen Problem.- 4. Singuläre Differentialgleichungen.- 5. Weitere Bemerkungen über das Anwachsen der Eigenwerte. Auftreten negativer Eigenwerte.- 6. Stetigkeitseigenschaften der Eigenwerte.- 3. Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz.- 1. Die Vollständigkeit der Eigenfunktionen.- 2. Der Entwicklungssatz.- 3. Verschärfung des Entwicklungssatzes.- 4. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte.- 1. Die Differentialgleichung ?u + ?u = 0 für ein Rechteck.- 2. Die Differentialgleichung ?u + ? = 0 bei Gebieten, welche aus endlich vielen Quadraten oder Würfeln bestehen.- 3. Ausdehnung des Resultates auf die allgemeine Differentialgleichung L[u] + ??u = 0.- 4. Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für einen beliebigen Bereich.- 5. Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für die Differentialgleichung ?u + ?u = 0 in verschärfter Form.- 5. Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus.- 6. Die Knoten der Eigenfunktionen.- 7. Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- 1. Ableitung der Minimumeigenschaften der Eigenwerte aus ihrer Vollständigkeit.- 2. Charakterisierung der ersten Eigenfunktion durch ihre Nullstellenfreiheit.- 3. Andere Minimumeigenschaften der Eigenwerte.- 4. Asymptotische Eigenwertverteilung bei der schwingenden Platte.- 5. bis 7. Aufgaben.- 8. Parameter in den Randbedingungen.- 9. Eigenwertprobleme für geschlossene Flächen.- 10. Eigenwertabschätzungen beim Auftreten von singulären Punkten.- 11. Minimumsätze für Membran und Platte.- 12. Minimumprobleme bei variabler Massenverteilung.- 13. Knotenpunkte beim Sturm-Liouvilles...