Moduln und Ringe

Mit diesem Buch werden vor allem zwei Ziele angestrebt. Einmal sollen die Grund­ begriffe der Theorie der Moduln und Ringe dargestellt werden. Dabei ist die Darstel­ lung so ausflihrlich gehalten, daß das Buch auch zum Selbststudium geeignet ist. Andererseits ist es meine Absicht, gewisse Gegenstände. die bisher keine lehrbuch­ mäßige Darstellung gefunden haben, jedoch in diesem Gebiet einen wichtigen Platz einnehmen, in leicht zugänglicher Weise zu entwickeln. Es handelt sich insbesondere um Ringe mit vollkommener Dualität und Quasi-Frobeniusringe (QF-Ringe). Zusammenfassend soll das Buch den Leser in die Lage versetzen, von den einfachste!" Grundbegriffen ausgehend bis zu Fragestellungen und Überlegungen vorzudringen, die in der wissenschaftlichen Entwicklung von aktuellem Interesse sind. Dieser Absicht dienen auch die zahlreichen Übungen von verschiedenem Schwierig­ keitsgrad. Dabei soll nicht nur der im Text behandelte Stoff geübt, sondern auch Begriffe und Entwicklungsrichtungen berührt werden, die im Buch sonst keine Be­ handlung finden. Der Aufbau des Buches ist von der Überzeugung bestimmt, daß die Begriffe pro­ j e k t ver i und i n j e k ver t i M 0 d u 1 zu den wichtigsten Grundbegriffen der Theorie der Moduln und Ringe gehören und daher möglichst an den Anfang gestellt werden sollen. Diese Begriffe können dann auch bereits bei der Behandlung von klassischen Teilen der Theorie benutzt werden.

1 Einige Grundbegriffe über Kategorien.- 1.1 Definition von Kategorien.- 1.2 Beispiele für Kategorien.- 1.3 Funktoren.- 1.4 Funktorielle Morphismen und adjungierte Funktoren.- 1.5 Produkte und Koprodukte.- Übungen zu Kapitel 1.- 2 Moduln, Untermoduln und Faktormoduln.- 2.1 Voraussetzungen.- 2.2 Untermoduln und Ideale.- 2.3 Durchschnitt und Summe von Untermoduln.- 2.4 Innere direkte Summen.- 2.5 Faktormoduln und Faktorringe.- Übungen zu Kapitel 2.- 3 Homomorphismen von Moduln und Ringen.- 3.1 Definitionen und einfache Eigenschaften.- 3.2 Ringhomomorphismen.- 3.3 Generatoren und Kogeneratoren.- 3.4 Produktzerlegung von Homomorphismen.- 3.5 Der Satz von Jordan-Hölder-Schreier.- 3.6 Funktoreigenschaften von Hom.- 3.7 Der Endomorphismenring eines Moduls.- 3.8 Duale Moduln.- 3.9 Exakte Folgen.- Übungen zu Kapitel 3.- 4 Direkte Produkte, direkte Summen, freie Moduln.- 4.1 Konstruktion von Produkten und Koprodukten.- 4.2 Zusammenhang zwischen der äußeren und inneren direkten Summe.- 4.3 Homomorphismen von direkten Produkten und Summen.- 4.4 Freie Moduln.- 4.5 Freie und teilbare abelsche Gruppen.- 4.6 Monoidringe.- 4.7 Fasersumme und Faserprodukt.- 4.8 Eine Kennzeichnung von Generatoren und Kogeneratoren.- Übungen zu Kapitel 4.- 5 Injektive und projektive Moduln.- 5.1 Kleine und große Untermoduln.- 5.2 Komplemente.- 5.3 Definition injektiver und projektiver Moduln und einfache Folgerungen.- 5.4 Projektive Moduln.- 5.5 Injektive Moduln.- 5.6 Injektive und projektive Hüllen.- 5.7 Das Baersche Kriterium.- 5.8 Weitere Kennzeichnungen und Eigenschaften von Generatoren und Kogeneratoren.- Übungen zu Kapitel 5.- 6 Artinsche und noethersche Moduln.- 6.1 Definitionen und Charakterisierungen.- 6.2 Beispiele.- 6.3 Der Hilbertsche Basissatz.- 6.4 Endomorphismen von artinschen und noetherschen Moduln.- 6.5 Eine Kennzeichnung von noetherschen Ringen.- 6.6 Zerlegung injektiver Moduln über noetherschen und artinschen Ringen.- Übungen zu Kapitel 6.- 7 Lokale Ringe, der Satz von Krull-Remak-Schmidt.- 7.1 Lokale Ringe.- 7.2 Lokale Endomorphismenringe.- 7.3 Der Satz von Krull-Remak-Schmidt.- Übungen zu Kapitel 7.- 8 Halbeinfache Moduln und Ringe.- 8.1 Definition und Kennzeichnung.- 8.2 Halbeinfache Ringe.- 8.3 Struktur der einfachen Ringe mit einem einfachen einseitigen Ideal.- 8.4 Der Dichtesatz.- Übungen zu Kapitel 8.- 9 Radikal und Sockel.- 9.1 Definition von Radikal und Sockel.- 9.2 Weitere Eigenschaften des Radikals.- 9.3 Das Radikal eines Ringes.- 9.4 Kennzeichnung endlich erzeugter und endlich koerzeugter Moduln.- 9.5 Zur Kennzeichnung von artinschen und noetherschen Ringen.- 9.6 Das Radikal des Endomorphismenringes eines injektiven oder projektiven Moduls.- 9.7 Gute Ringe.- Übungen zu Kapitel 9.- 10 Das Tensorprodukt, flache Moduln und reguläre Ringe.- 10.1 Definition und Faktorisierungseigenschaft.- 10.2 Weitere Eigenschaften des Tensorproduktes.- 10.3 Funktoreigenschaften des Tensorproduktes.- 10.4 Flache Moduln und reguläre Ringe.- 10.5 Flache Faktormoduln von flachen Moduln.- Übungen zu Kapitel 10.- 11 Semi-perfekte Moduln und perfekte Ringe.- 11.1 Semi-perfekte Moduln, Grundbegriffe.- 11.2 Hochheben von direkten Zerlegungen.- 11.3 Hauptsatz über projektive, semi-perfekte Moduln.- 11.4 Direkt unzerlegbare semi-perfekte Moduln.- 11.5 Eigenschaften von Nilidealen und von t-nilpotenten Idealen.- 11.6 Perfekte Ringe.- Übungen zu Kapitel 11.- 12 Ringe mit vollkommener Dualität.- 12.1 Einleitung und Formulierung des Hauptsatzes.- 12.2 Dualitätseigenschaften.- 12.3 Seitenwechsel.- 12.4 Annullatoreigenschaften.- 12.5 Injektivität und Kogeneratoreigenschaften eines Ringes.- 12.6 Beweis des Hauptsatzes.- Übungen zu Kapitel 12.- 13 Quasi-Frobeniusringe.- 13.1 Einleitung.- 13.2 Definition und Hauptsatz.- 13.3 Dualitätseigenschaften von Quasi-Frobeniusringen.- 13.4 Die klassische Definition.- 13.5 Quasi-Frobeniusalgebren.- 13.6 Kennzeichnung von Quasi-Frobeniusringen.- Übungen zu Kapitel 13.- Literaturhinweise.- Lehrbücher über Ringe und Moduln.- Literatur zu den Kapiteln 11 bis 13.- Namen- und Sachverzeichnis.