Riassunto
Diese Absicht wurde verstärkt durch den äußeren Umstand, daß in zunehmendem Maße Mathematikstudenten der Münchner Universität bei mir Logik als Nebenfach wählten. Da diese Kandidaten meist keine Zeit und Gelegenheit hatten, meine Veranstaltungen zu besuchen, kam der verständliche Wunsch auf, ich möge "etwas Schriftliches verfassen", das man mit nach Hause nehmen könne. Hinzu kam schließlich noch das Wissen um didaktische Nachteile vieler Logik-Bücher. In den meisten von ihnen werden nur spezielle syntaktische und semantische Verfahren behandelt. Wenn z. B. in einem Werk ausschließlich die axiomatische Methode, in einem weiteren allein das natürliche Schließen und in einem dritten nur der Kalkül der PositivfNegativ-Teile vorgeführt wird, so fällt es selbst einem routinier ten Mathematiker schwer, die Gleichwertigkeit dieser Kalkülisierungen einzusehen. Weichen dann auch noch die Systematisierungen der Se mantik erheblich voneinander ab, so wird ein Nichtmathematiker ver mutlich sogar den Eindruck gewinnen, die fraglichen Bücher handelten von verschiedenen Gegenständen. Doch dies ist nur die eine Seite der Medaille. In immer mehr Bücher, die das Wort ,Logik' im Titel tragen, werden nämlich umgekehrt mehr oder weniger ausführlich Bereiche einbezogen, die zwar für Untersuchungen zur Logik von Wichtigkeit sind, die jedoch weit über den Rahmen der Logik hinausführen, wie z. B. Rekursionstheorie, axiomatische Mengenlehre oder Hilbertsche Beweis theorie. Zieht man die Grenze einmal so weit, so ist nicht zu erkennen, warum nicht noch viel mehr einbezogen werden sollte. In zunehmendem Maße spielen z. B. algebraische Begriffe eine wichtige Rolle bei logischen Untersuchungen.
Contenuti
Einleitung: Inhaltsübersicht.- 1. Vorbereitungen.- 1.1 Logische und semiotische Präliminarien.- 1.2 Zur Bezeichnungsweise und Symbolik.- 1.3 Grundbegriffe der Mengenlehre.- 1.3.1 Mengen und mengentheoretische Operationen.- 1.3.2 Relationen, Funktionen, Folgen.- 1.3.3 Kardinalzahlen. Cantorsches Diagonalverfahren.- 1.3.4 Induktionsbeweise.- I. Logik.- 2. Junktoren.- 2.1 Die Sprache der Junktorenlogik.- 2.2 Bivalenzprinzip, Junktorenregeln, Wahrheitsannahmen, Boolesche Bewertungen (j-Bewertungen).- 2.3 Semantische Eigenschaften und Beziehungen der Junktorenlogik.- 2.4 Wahrheitstafeln und andere Entscheidungsverfahren.- 2.5 Satzschemata. Substitutionen. Umbenennungen.- 2.6 Semantische Vollständigkeit der Junktoren.- 3. Quantoren.- 3.1 Die Sprache der Quantorenlogik.- 3.2 Quantorenregeln. Wahrheitsannahmen. Quantorenlogische Bewertungen (q-Bewertungen).- 3.3 Semantische Eigenschaften und Beziehungen der Quantorenlogik.- 3.4 Logisch gültige Aussagen über Sätze mit Quantoren.- 3.5 Substitutionen. Alphabetische Umbenennungen. Varianten.- 4. Kalküle.- 4.0 Intuitive Vorbetrachtungen.- 4.1 Formale Beweise. Formale Ableitungen. Semantische Adäquatheit von Kalkülen.- 4.2 Adjunktiver Baumkalkül („Beth-Kalkül“).- 4.2.1 Baumstrukturen. Das Lemma von König.- 4.2.2 Beschreibung des Kalküls B.- 4.2.3 Semantische Adäquatheit (q-Folgerungskorrektheit und q-Folgerungs- vollständigkeit) von B. Das Hintikka-Lemma.- 4.2.4 Kompaktheitstheorem.- 4.2.5 Pränexer Baumkalkül.- 4.3 Sequenzenkalkül („Gentzen-Kalkül“).- 4.3.1 Beschreibung des Kalküls S.- 4.3.2 Semantische Korrektheit von S.- 4.3.3 Semantische Vollständigkeit von S.- 4.3.4 Ein direkter Nachweis der Äquivalenz von Sequenzen- und Baumkalkül: Der Sequenzenkalkül als „auf den Kopf gestellter Baumkalkül“.- 4.4 Dialogkalkül („Lorenzen-Kalkül“).- 4.4.1 Logikkalkül als Dialogspiel. Intuitive Vorbetrachtungen.- 4.4.2 Dialoge und Gewinnstrategien.- 4.4.3 Erste Hälfte des Äquivalenzbeweises: Überführung von D-Gewinnstrategien in $$ \bar{S} $$-Beweise.- 4.4.4 Zweite Hälfte des Äquivalenzbeweises: Überführung von $$ \bar{S} $$-Beweisen in D-Gewinnstrategien.- 4.5 Axiomatischer Kalkül („Hilbert-Kalkül“).- 4.5.1 Beschreibung des Kalküls A.- 4.5.2 Semantische Adäquatheit von A.- 4.6 Kalkül des natürlichen Schließens („Gentzen-Quine-Kalkül“).- 4.6.1 Beschreibung des Kalküls N.- 4.6.2 Semantische Korrektheit von N.- 4.6.3 Semantische Vollständigkeit von N.- 4.7 Positiv/Negativ-Kalkül („Schütte-Kalkül“).- 4.7.1 Beschreibung des Kalküls P.- 4.7.2 Semantische Korrektheit von P.- 4.7.3 Zulässige Regeln von P. Vollständigkeit von P.- 5. Semantiken: Spielarten der denotationellen und nicht-denotationellen Semantik.- 5.1 Q-Interpretation.- 5.2 l-Bewertung und l-Interpretation.- 5.3 l-Interpretation mit Objektnamen.- 5.4 l-Interpretation mit Variablenbelegung. Referentielle und substitutionelle Qualifikation.- 5.5 l-semantische Grundresultate.- 5.6 Vergleichende Betrachtung von Zielsetzungen und Möglichkeiten der denota-tionellen und nicht-denotationellen Semantik.- 6. Normalformen.- 6.1 Dualform.- 6.2 Adjunktive und konjunktive Normalform.- 6.3 Pränexe Normalform.- 6.4 Skolem-Normalform.- 6.5 Distributive Normalform („Hintikka-Normalform“).- 7. Identität.- 7.1 i-Semantik.- 7.2 Anzahlquantoren.- 7.3 Der Kennzeichnungsoperator.- 8. Theorien.- 8.1 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit.- 8.2 Theorien erster Stufe.- 8.3 Definitorische Theorieerweiterung.- II. Metalogische Ergebnisse.- 9. Kompaktheit.- 9.0 Smullyans Behandlung von Bewertungs- und Interpretationssemantik.- 9.1 Allgemeines. Ein „direkter“ (synthetischer) Beweis des Kompaktheitssatzes.- 9.2 Deduzierbarkeitsversion des Kompaktheitssatzes.- 9.3 Analytische oder „Gödel-Gentzen“-Varianten des Kompaktheitstheorem-beweises.- 9.4 Synthetische oder „Lindenbaum-Henkin“-Varianten des Kompaktheits-theorembeweises.- 9.5 Eine analytische Variante des Beweises von Lindenbaum.- 10. Das Fundamentaltheorem der Quantorenlogik.- 10.1 Smullyans magische Mengen.- 10.1.1 Reguläre Mengen.- 10.1.2 Magische Mengen.- 10.1.3 Kompaktheitstheorem. Löwenheim-Skolem-Theorem.- 10.2 Das Fundamentaltheorem der Quantorenlogik (Abstrakte Fassung des Satzes von Herbrand).- 10.3 Ein Beweis des Fundamentaltheorems auf der Grundlage des Baum Verfahrens.- 10.4 Direkter und verschärfter Vollständigkeitsbeweis des axiomatischen Kalküls A.- 11. Analytische und synthetische Konsistenz. Zwei Typen von Vollständigkeits-beweisen: solche vom Gödel-Gentzen-Typ und solche vom Henkin-Typ.- 11.1 Formale Konsistenz in axiomatischen Kalkülen und analytische Konsistenz.- 11.2 Analytisches Konsistenz-Erfüllbarkeitstheorem und Gödelsche Vollständigkeit.- 11.3 Formale Konsistenz in axiomatischen Kalkülen und synthetische Konsistenz.- 11.4 Synthetisches Konsistenz-Erfüllbarkeitstheorem und Henkinsche Vollständigkeit.- 12. Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit.- 12.0 Vorbemerkungen.- 12.1 Sprachen erster Stufe.- 12.2 Theorien erster Stufe.- 12.3 Die Theorie erster Stufe N.- 12.4 Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit.- 12.4.1 Intuitive Vorbemerkungen zu den Begriffen der Aufzählbarkeit, Entscheid-barkeit und Berechenbarkeit.- 12.4.2 Rekursive Funktionen und Prädikate.- 12.5 Sequenzzahlen.- 12.6 Ausdruckszahlen.- 12.7 Formale Repräsentierbarkeit.- 12.8 Unentscheidbarkeit und Unvollständigkeit.- 13. Selbstreferenz, Tarski-Sätze und die Undefinierbarkeit der Wahrheit.- 13.0 Intuitive Vorbetrachtungen.- 13.1 Die Minimalsysteme S0, 0L und SP.- 13.2 Miniaturfassungen der Theoreme von Tarski und Gödel.- 13.3 Vorbereitung für höhere Systeme: Normbildung mittels Gödel-Entsprechungen und semantische Normalität.- 13.4 Das arithmetische System SAr und die arithmetische Undefinierbarkeit der arithmetischen Wahrheit.- Anhang 1. Henkin-Sätze und semantische Konsistenz.- Anhang 2. Diagonalisierung versus Normbildung.- 14. Abstrakte Semantik: Semantische Strukturen und ihre Isomorphie-Arten.- 14.0 Vorbemerkung.- 14.1 Abstrakte Bewertungs- und Interpretationssemantik.- 14.1.1 Motivation und intuitive Einführung.- 14.1.2 Symbolmengen und Sprachen erster Stufe im Rahmen der abstrakten Semantik.- 14.1.3 Gewöhnliche und volle semantische Strukturen.- 14.1.4 Abstrakte Bewertungssemantik. Modellbeziehung und logische Folgerung.- 14.1.5 Das Lemma über Kontextfreiheit (Koinzidenzlemma).- 14.1.6 Das Substitutionslemma.- 14.1.7 Reine Interpretationssemantik.- 14.2 Elemente der abstrakten Definitionstheorie.- 14.2.1 Definitionen bezüglich Satzmengen.- 14.2.2 Definitionsmengen. Die eindeutige Existenz von Definitionserweiterungen.- 14.2.3 Das Theorem über Eliminierbarkeit und Nichtkreativität.- 14.2.4 Informeller und abstrakter Definitionsbegriff.- 14.3 Substrukturen, Relativierungen, relationale Strukturen.- 14.3.1 S-Redukte und S-Expansionen.- 14.3.2 S-abgeschlossene Träger, Substrukturen und Superstrukturen.- 14.3.3 Die P-Relativierung einer Formel.- 14.3.4 Das Relativierungstheorem.- 14.3.5 Relationale Strukturen und das Relationalisierungstheorem.- 14.4 Elementare Äquivalenz und Isomorphie-Arten.- 14.4.1 Isomorphe Strukturen.- 14.4.2 Das Isomorphielemma.- 14.4.3 Elementar äquivalente Strukturen. Die semantische Theorie einer Struktur.- 14.4.4 Isomorphie, elementare Äquivalenz, Definitionserweiterungen und relationale Strukturen.- 14.4.5 Präpartielle Isomorphismen.- 14.4.6 Endlich isomorphe Strukturen.- 14.4.7 Partiell isomorphe Strukturen.- 14.4.8 m-isomorphe Strukturen.- 14.4.9 Quantorenrang.- 14.4.10 Der Zusammenhang von m-Isomorphie und Quantorenrang.- 14.4.11 Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Isomorphie-Arten und der elementaren Äquivalenz.- 14.5 Der Satz von Fraissé.- 14.5.1 Intuitive Motivation und Formulierung.- 14.5.2 Reduktion auf den relationalen Fall.- 14.5.3 Beweis der ersten Hälfte des Theorems von Fraissé.- 14.5.4 Beweis der zweiten Hälfte des Theorems von Fraissé.- 15. Auszeichnung der Logik erster Stufe: Die Sätze von Lindström.- 15.1 Abstrakte logische Systeme.- (A) Präliminarien.- (B) Abstrakte logische Systeme.- (C) Komparative Ausdrucksstärke abstrakter logischer Systeme.- (D) Regularität: Wünschenswerte Eigenschaften abstrakter logischer Systeme.- (E) Für den Vergleich mit ?1 relevante Eigenschaften logischer Systeme.- 15.2 Der erste Satz von Lindström.- 15.3 Der zweite Satz von Lindström.- Bibliographie.- Autorenregister.- Verzeichnis der Symbole und Abkürzungen.
Le informazioni nella sezione "Su questo libro" possono far riferimento a edizioni diverse di questo titolo.
