Sub-Riemannian geometry (also known as Carnot geometry in France, and non-holonomic Riemannian geometry in Russia) has been a full research domain for fifteen years, with motivations and ramifications in several parts of pure and applied mathematics, namely:
• control theory • classical mechanics • Riemannian geometry (of which sub-Riemannian geometry constitutes a natural generalization, and where sub-Riemannian metrics may appear as limit cases) • diffusion on manifolds • analysis of hypoelliptic operators • Cauchy-Riemann (or CR) geometry.
Although links between these domains had been foreseen by many authors in the past, it is only in recent years that sub- Riemannian geometry has been recognized as a possible common framework for all these topics.
This book provides an introduction to sub-Riemannian geometry and presents the state of the art and open problems in the field. It consists of five coherent and original articles by the leading specialists:
• Andr� Bella�che: The tangent space in sub-Riemannian geometry • Mikhael Gromov: Carnot-Carath�odory spaces seen from within • Richard Montgomery: Survey of singular geodesics • H�ctor J. Sussmann: A cornucopia of four-dimensional abnormal sub-Riemannian minimizers • Jean-Michel Coron: Stabilization of controllable systems

Contenuti

The tangent space in sub-Riemannian geometry.- � 1. Sub-Riemannian manifolds.- � 2. Accessibility.- � 3. Two examples.- � 4. Privileged coordinates.- � 5. The tangent nilpotent Lie algebra and the algebraic structure of the tangent space.- � 6. Gromov’s notion of tangent space.- � 7. Distance estimates and the metric tangent space.- � 8. Why is the tangent space a group?.- References.- Carnot-Carath�odory spaces seen from within.- � 0. Basic definitions, examples and problems.- � 1. Horizontal curves and small C-C balls.- � 2. Hypersurfaces in C-C spaces.- � 3. Carnot-Carath�odory geometry of contact manifolds.- � 4. Pfaffian geometry in the internal light.- � 5. Anisotropic connections.- References.- Survey of singular geodesics.- � 1. Introduction.- � 2. The example and its properties.- � 3. Some open questions.- � 4. Note in proof.- References.- A cornucopia of four-dimensional abnormal sub-Riemannian minimizers.- � 1. Introduction.- � 2. Sub-Riemannian manifolds and abnormal extremals.- � 3. Abnormal extremals in dimension 4.- � 4. Optimality.- � 5. An optimality lemma.- � 6. End of the proof.- � 7. Strict abnormality.- � 8. Conclusion.- References.- Stabilization of controllable systems.- � 0. Introduction.- � 1. Local controllability.- � 2. Sufficient conditions for local stabilizability of locally controllable systems by means of stationary feedback laws.- � 3. Necessary conditions for local stabilizability by means of stationary feedback laws.- � 4. Stabilization by means of time-varying feedback laws.- � 5. Return method and controllability.- References.

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