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Convergence Structures and Applications to Analysis: Proceedings of the International Summer School Held at Frankfurt/oder, Gdr from May 8 to 12, 1978
Gähler, S. (Editor)/ Gähler, W. (Editor)/ Kneis, G. (Editor)
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Editore: Berlin Akad-Vlg -78, 1977
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Taschenbuch. Condizione: Neu. Druck auf Anfrage Neuware - Printed after ordering - Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Ketten…regel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t' (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß (Dt, Dg 0 t in x und y in (Dt, Dg 0 t (x) differenzierbar ist. Die Forderung, daß y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschränkend. Verlangt man, daß die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all gemeinen nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die natür lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso morphien sind.
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Taschenbuch. Condizione: Neu. Druck auf Anfrage Neuware - Printed after ordering - In der Monographie wird ein systematischer Aufbau der Analysis unter Be nutzung des Limitierungsbegriffs vorgenommen. Insbesondere werden die Theorie der Limesräume und limesuniformen Räume, die limitierte Algebra und die allgemeine Differentialre…chnung entwickelt. Die Notwendigkeit, den Topologiebegriff abzuschwächen und ihn durch den - wie sich zeigt - bedeutend leistungsfähigeren Begriff der Limitierung zu ersetzen, ergibt sich bei einer Reihe von Problemen in Abbildungsräumen. Wir führen zwei Beispiele an. Bekanntlich existiert zu topologischen, ja sogar zu separierten topologischen Räumen X und Y im allgemeinen keine gröbste Topologie von C(X, Y), bezüglich der die Evaluationsabbildung w von C(X, Y) X X in Y stetig ist, was zur Folge hat, daß die Kategorien aller topologischen Räume und aller HAusDoRFF-Räume nicht cartesisch abge schlossen sind. Es existiert aber stets eine gröbste Limitierung von C(X, Y), bezüglich der w stetig ist, und die Kategorien aller pseudotopologischen und aller separierten pseudotopologischen Räume sind cartesisch abgeschlossen. Nach dem Satz von KELLER-MAISSEN gibt es zu separierten lokalkonvexen topologischen Vektorräumen X und Y nur dann eine Vektorraumtopologie von L(X, Y), bezüglich der die Evaluationsabbildung von L(X, Y) X X in Y stetig ist, wenn X normierbar ist, weshalb zum Beispiel die Kategorien aller topologischen Vektorräume und aller separierten lokalkonvexen topolo gischen Vektorräume bezüglich Tensorprodukte keine abgeschlossenen Kate gorien bilden. Die Kategorien aller pseudotopologischen Vektorräume und aller in einem engeren Sinne separierten lokalkonvexen pseudotopologischen Vektorräume sind hingegen, als symmetrische monoidale Kategorien bezüglich Tensorprodukte, abgeschlossen.
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